2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.

18.2.1两角和与差的余弦学习目标核心素养1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)1.通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．2.借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养.两角和与差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？[提示]依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sinα＝y1，cosα＝x1，所以x＝cosα，y＝sinα，即点P坐标为(cosα，sinα).1.cos22°cos38°－sin22°sin38°的值为()A．12B．13C．32D．33A[原式＝cos(22°＋38°)＝cos60°＝12.]2.化简cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ为()A．sin(2α＋β)B．cos(2α－β)C．cosαD．cosβC[原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.]3.cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝_________.12[cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)2＝cos[(－40°)＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.]利用两角和与差的余弦公式化简求值【例1】(1)cos345°的值等于()A．2－64B．6－24C．2＋64D．－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.[思路探究]利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．(1)C[cos345°＝cos(360°－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24.](2)[解]①原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos45°＝22，所以原式＝22.②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2.两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．31.求下列各式的值：(1)cos13π12；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．[解](1)cos13π12＝cosπ＋π12＝－cosπ12＝－cos3π12－2π12＝－cosπ4－π6＝－cosπ4cosπ6＋sinπ4sinπ6＝－22×32＋22×12＝－6＋24.(2)原式＝－sin100°sin160°＋cos200°cos280°＝－sin80°sin20°－cos20°cos80°＝－(cos80°cos20°＋sin80°sin20°)＝－cos60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]＝cos60°＝12.给值(式)求值【例2】(1)已知cosα＝35，α∈32π，2π，则cosα－π3＝________.(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cosα的值．[思路探究](1)可先求得sinα，再用两角差的余弦公式求cosα－π3.(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cosα.(1)3－4310[因为cosα＝35，α∈32π，2π，所以sinα＝－45，所以cosα－π3＝cosαcosπ3＋sinαsinπ3＝35×12＋－45×32＝3－4310.]4(2)[解]因为α，β为锐角，所以0α＋βπ.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0α＋βπ2，所以02α＋βπ.又因为cos(2α＋β)＝35，所以02α＋βπ2，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.给值求值的解题步骤：1找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.2拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：α＝α＋β－β，α＝β－β－α，α＝2α－β－α－β，α＝12[α＋β＋α－β]，α＝12[β＋α－β－α]等.3求解.结合公式Cα±β求解便可.2.已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈0，π2，求cosβ的值．[解]∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又∵cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝1－cos2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314.5又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.已知三角函数值求角【例3】已知α，β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，求α－β的值．[思路探究]本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．[解]∵α，β均为锐角，cosα＝255，cosβ＝1010，∴sinα＝55，sinβ＝31010，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又sinαsinβ，∴0αβπ2，∴－π2α－β0.故α－β＝－π4.1.这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解．2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．63.设α，β是锐角，sinα＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3.[证明]由0απ2，0βπ2，知0α＋βπ，又cos(α＋β)＝－1114，故sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝1－－11142＝5314.由sinα＝437，可知cosα＝1－sin2α＝1－4372＝17，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12，∴β＝π3.利用角的变换求三角函数值[探究问题]1.若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？[提示]cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.2.利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？[提示]cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)．3.若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？[提示]cos(α－β)＝2－a2－b22.【例4】若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2的值为()A．33B．－33C．539D．－697[思路探究]利用角的交换求解，α＋β2＝π4＋α－π4－β2.C[∵0απ2，－π2β0，∴π4α＋π43π4，π4π4－β2π2，又∵cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，∴sinπ4＋α＝223，sinπ4－β2＝63，∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.故选C．]巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求或证明另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和差角，如α＝α－β＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和差角，如2α＝α＋β＋α－β等.4．设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cosα＋β2的值．[解]∵α∈π2，π，β∈0，π2，∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝1－181＝459，cosα2－β＝1－sin2α2－β＝1－49＝53，8∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527.对公式C(α－β)和C(α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cosα＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]等.1.下列式子中，正确的个数为()①cos(α－β)＝cosα－cosβ；②cosπ2＋α＝sinα；③cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.A．0个B．1个C．2个D．3个A[由cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ知①③错误，cosπ2＋α＝－sinα，故②错误，故选A．]2.已知锐角α，β满足cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，则cosβ等于()A．3365B．－3365C．5475D．－5475A[因为α，β为锐角，cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，9所以sinα＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A．]3.sin75°＝________.6＋24[sin75°＝cos15°＝cos(