（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第3讲 基本初

-1-第3讲基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题指数、对数的运算[核心提炼]指数与对数式的七个运算公式(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；(4)logaMN＝logaM－logaN；(5)logaMn＝nlogaM；(6)alogaN＝N；(7)logaN＝logbNlogba.注：a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0.[典型例题](1)(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log83＝p，log35＝q，则lg5(用p、q表示)等于()A.3p＋q5B.1＋3pqp＋qC.3pq1＋3pqD．p2＋q2(2)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z(3)已知ab1.若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________．【解析】(1)因为log83＝p，所以lg3＝3plg2，又因为log35＝q，所以lg5＝qlg3，所以lg5＝3pqlg2＝3pq(1－lg5)，所以lg5＝3pq1＋3pq，故选C.(2)设2x＝3y＝5z＝k1，所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.-2-因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝2logk2－3logk3＝2logk3－3logk2logk2·logk3＝logk32－logk23logk2·logk3＝logk98logk2·logk30，所以2x3y；因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝3logk3－5logk5＝3logk5－5logk3logk3·logk5＝logk53－logk35logk3·logk5＝logk125243logk3·logk50，所以3y5z；因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝2logk2－5logk5＝2logk5－5logk2logk2·logk5＝logk52－logk25logk2·logk5＝logk2532logk2·logk50，所以5z2x.所以5z2x3y，故选D.(3)由于ab1，则logab∈(0，1)，因为logab＋logba＝52，即logab＋1logab＝52，所以logab＝12或logab＝2(舍去)，所以a12＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.【答案】(1)C(2)D(3)42(1)指数幂的运算性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定．(2)求解对数式运算的关键是：熟记对数恒等式、换底公式的运算法则，并结合代数式的各种变换技巧，如配方、因式分解、分母或分子有理化、拆项、添项、换底公式的运用等，简化对数运算过程．(3)容易出现的问题是误用指数幂的运算法则、对数的运算性质，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等．[对点训练]1．若a＝log43，则2a＋2－a＝________．解析：因为a＝log43＝log223＝12log23＝log23，-3-所以2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝3＋2log233＝3＋33＝433.答案：4332．(2019·瑞安市高三四校联考)若正数a，b满足log2a＝log5b＝lg(a＋b)，则1a＋1b的值为________．解析：设log2a＝log5b＝lg(a＋b)＝k，所以a＝2k，b＝5k，a＋b＝10k，所以ab＝10k，所以a＋b＝ab，则1a＋1b＝1.答案：1基本初等函数的图象及性质[核心提炼]指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象和性质，分0a1，a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a0，且a≠1)的图象可能是()(2)P为曲线C1：y＝ex上一点，Q为曲线C2：y＝lnx上一点，则|PQ|的最小值为________．【解析】(1)通解：若0a1，则函数y＝1ax是增函数，y＝logax＋12是减函数且其图象过点12，0，结合选项可知，选项D可能成立；若a1，则y＝1ax是减函数，而y＝logax＋12是增函数且其图象过点12，0，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.优解：分别取a＝12和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.-4-(2)因为曲线y＝ex与曲线y＝lnx互为反函数，其图象关于y＝x对称，故可先求点P到直线y＝x的最近距离d，设曲线y＝ex上斜率为1的切线为y＝x＋b，因为y′＝ex，由ex＝1，得x＝0，故切点坐标为(0，1)，即b＝1，所以d＝11＋1＝22，所以|PQ|的最小值为2d＝2×22＝2.【答案】(1)D(2)2研究指数、对数函数图象应注意的问题(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝lnt的单调性，忽视t0的限制条件．[对点训练]1．当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0＜|f(x)|≤1，则函数y＝loga1x的图象大致为()解析：选B.因为当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0＜|f(x)|≤1.因此，必有0＜a＜1.先画出函数y＝loga|x|的图象，如图．而函数y＝loga1x＝－loga|x|，如图．故选B.2．(2019·四川胜读九校联考)已知函数f()x＝－x2＋2x()x≤0，ln()x＋1（x0），若||f()x≥ax恒-5-成立，则a的取值范围为________．解析：由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象，由图象可知，函数y＝ax的图象为过原点的直线，直线l为曲线的切线，当直线介于l和x轴之间符合题意，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分解析式为y＝x2－2x，求其导数可得y′＝2x－2，因为x＝0，故y′＝－2，故直线l的斜率为－2，故只需直线y＝ax的斜率a介于－2与0之间即可，即a∈[]－2，0.答案：[]－2，0函数的零点[核心提炼]1．函数的零点的定义对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．2．确定函数零点的常用方法(1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)设a，b∈R，函数f(x)＝x，x0，13x3－12（a＋1）x2＋ax，x≥0.若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则()A．a－1，b0B．a－1，b0C．a－1，b0D．a－1，b0(2)(2019·衢州市高三教学质量检测)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2（x＋1），0≤x＜1|x－3|，x≥1，则函数y＝f(x)－12的所有零点之和是()A．5＋2B．1－2C.2－1D．5－2-6-(3)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，xλ.当λ＝2时，不等式f(x)0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．【解析】(1)由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝13x3－12(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，则b＝13x3－12(a＋1)x2＝16x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x≥0时，b＝16x2[2x－3(a＋1)]必须有2个零点，所以3（a＋1）20，解得a－1.所以b0.故选C.(2)当x≥0时，f(x)≥0，所以当x＜0时，f(x)＜0；由0≤x＜1，log2（x＋1）＝12得x＝－1＋2；由x≥1，|x－3|＝12得x＝72或52，所以所有零点之和是5＋2，选A.(3)若λ＝2，则当x≥2时，令x－40，得2≤x4；当x2时，令x2－4x＋30，得1x2.综上可知1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4)．令x－4＝0，解得x＝4；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1λ≤3或λ4.【答案】(1)C(2)A(3)(1，4)(1，3]∪(4，＋∞)(1)判断函数零点个数的方法①直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．②零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在(a，b)上是连续的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(2)利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法①利用零点存在的判定定理构建不等式求解．②分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．③转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．利用此种方法还可判断零点个数，求所有零点的和，研究基本初等函数的性质等．[对点训练]1．(2019·“七彩阳光”高三联考)设关于x的方程x2－ax－2＝0和x2－x－1－a＝0的实数根分别为x1，x2和x3，x4，若x1x3x2x4，则a的取值范围是________．-7-解析：由x2－ax－2＝0得a＝x－2x，由x2－x－1－a＝0得a＝x2－x－1.在同一个坐标系中画出y＝x－2x和y＝x2－x－1的图象(图略)．由x－2x＝x2－x－1，化简得x3－2x2－x＋2＝0，此方程显然有根x＝2，所以x3－2x2－x＋2＝(x＋1)(x－1)(x－2)＝0，解得x＝－1或x＝1或x＝2，当x＝2或x＝－1时，y＝1；当x＝1时，y＝－1，由题意可知，－1a1.答案：(－1，1)2．若函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，且a∈R)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为________．解析：由f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，观察可以知道，当－2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．故a的取值范围是(－2，2)．答案：(－2，2)函数的综合问题[核心提炼]函数的综合问题是浙江省新高考命题的热点之一，是考查考生分析问题、解决问题的能力及数学素养的较好题型，具有较好的区分度，求解函数综合问题应注意以下三点：1．审题是关键审题时要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性．解题实践表明：条件暗示可启发解题手段，结论预示可诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息．2．画出草图，寻找思路画好图形，做到定形(状)，定性(质)，定(数)量，定位(置)．图形能帮助你直观的理解题意，分析思路．3．力求表述规范，抓住得分点解题过程要用规范的数学语言，避免以某些二级结论为依据，只写结论，不写过程．[典型例题]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值．(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．-8-【解】(1)证明：由f(x)＝x＋a22＋b－a24，得对称轴为直线x＝－a2.由|a|≥2，得－a2≥1，故f(x)在[－1，1]上单调，所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－