2021高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数教学案

-1-第4章三角函数、解三角形全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式从高考题型、题量来看，一般有两种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题，分值上占17分左右.2.考查内容(1)客观题主要考查三角函数的定义，图像与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识.(2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图像与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.3.备考策略(1)熟练应用同角三角函数基本关系式与诱导公式求值、化简.(2)重视对三角函数图像和性质的研究，复习时通过选择题、填空题和解答题加以训练和巩固，注意将问题和方法进行归纳、整理.(3)对正弦定理、余弦定理的应用要加强训练.第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数[最新考纲]1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(对应学生用书第59页)1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β-2-＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的孤所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫作α的正弦，记作sinαx叫作α的余弦，记作cosαyx叫作α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线4.任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．-3-[常用结论]若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则α2所在象限如图：一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边一定不相同．()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材改编1．若θ满足sinθ＜0，cosθ＞0，则θ的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D[∵sinθ＜0，cosθ＞0，∴θ的终边落在第四象限．]2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)C[∵9π4＝2π＋π4，∴9π4与π4终边相同．又角度制与弧度制不可同时混用，故选C.]3．角－225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限．-4-[答案]－5π4二4．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________.115[由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－35，cosθ＝45，所以2cosθ－sinθ＝2×45－－35＝115.]5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．[答案]π3(对应学生用书第60页)⊙考点1象限角及终边相同的角象限角的两种判断方法(1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．1.设集合M＝x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么()A．M＝NB．MNC．NMD．M∩N＝B[由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有MN，故选B.]2．设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角B[∵θ是第三象限角，-5-∴π＋2kπ＜θ＜3π2＋2kπ，k∈Z，∴π2＋kπ＜θ2＜3π4＋kπ，k∈Z，∴θ2的终边落在第二、四象限，又cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ2＜0，∴θ2是第二象限角．]3．与－2010°终边相同的最小正角是________．150°[与－2010°终边相同的角可表示为α＝－2010°＋k·360°，k∈Z，又当k＝6时，α＝150°，故与－2010°终边相同的最小正角为150°.]4．终边在直线y＝3x上的角的集合是________．{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}[终边在y＝3x上的角可表示为α＝k·180°＋60°，k∈Z.](1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αk(k∈Z*)的终边位置的方法，先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．⊙考点2扇形的弧长、面积公式弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？[解](1)α＝60°＝π3rad，所以l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)．-6-(2)由题意得2R＋Rα＝10，12α·R2＝4⇒R＝1，α＝8(舍去)或R＝4，α＝12.故扇形圆心角为12rad.(3)由已知得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．1.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π6B.π3C．3D.3D[如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝2π3，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝π3，∴AM＝32r，AB＝3r，∴l＝3r，由弧长公式得α＝lr＝3rr＝3.]2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C.2sin1D．2sin1交AB︵C[如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1，在Rt△AOC中，-7-AO＝ACsin∠AOC＝1sin1，即r＝1sin1，从而AB︵的长为l＝α·r＝2sin1.故选C.]3．已知扇形弧长为20cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.360π[由弧长公式l＝|α|r，得r＝20100π180＝36π，所以S扇形＝12lr＝12×20×36π＝360π.]⊙考点3三角函数的概念及应用三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．三角函数定义的应用(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点1213，513和－35，45，则sin(α＋β)＝()A．－3665B.4865C．－313D.3365(2)角α终边上一点P(4m，－3m)(m≠0)，则2sinα＋cosα＝________.(1)D(2)±25[(1)由题意可知cosα＝1213，sinα＝513.cosβ＝－35，sinβ＝45，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝513×－35＋1213×45-8-＝－1565＋4865＝3365.(2)r＝16m2＋9m2＝5|m|，当m＞0时，r＝5m，sinα＝－3m5m＝－35，cosα＝4m5m＝45，∴2sinα＋cosα＝2×－35＋45＝－25.当m＜0时，r＝－5m，sinα＝－3m－5m＝35，cosα＝4m－5m＝－45，∴2sinα＋cosα＝2×35＋－45＝25，∴2sinα＋cosα＝±25.](3)角α的终边在直线y＝－43x，求sinα，cosα，tanα.[解]由题意tanα＝－43，当角α终边落在第二象限，设角α终边上一点P(－3,4)，r＝5，∴sinα＝45，cosα＝－35，当角α终边落在第四象限，设角α终边上一点P(3，－4)，r＝5，sinα＝－45，cosα＝35.充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母的方程求解要注意字母的范围．三角函数值的符号判断(1)若tanα＞0，则()A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0(2)若sinαtanα＜0，且cosαtanα＜0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(1)C(2)C[(1)由tanα＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与-9-cosα同号，故sin2α＝2sinαcosα＞0，故选C.(2)由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cosαtanα＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．]判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域．三角函数线的应用函数y＝sinx－cosx的定义域为________．2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)[利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.]利用三角函数线比较大小或解三角不等式，通常采用数形结合的方法，一般来说sinx≥b，cosx≥a，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围．1.已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[∵tanα＜0，cosα＜0，∴α在第二象限．]2．(2019·枣庄模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30