（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第1讲 三角函数的图象与性质

-1-第1讲三角函数的图象与性质三角函数的定义、诱导公式及基本关系[核心提炼]1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.3．诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．[典型例题](1)(2019·湖州市高三期末)点P从点A(1，0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达点Q，则点Q的坐标是()A.－12，32B.32，12C.－12，－32D.－32，12(2)(2019·长春一模)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinβ的值为________．(3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.①求sin()α＋π的值；②若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．【解】(1)选A.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，所以∠QOx＝2π3，所以Qcos2π3，sin2π3，即Q点的坐标为－12，32.故选A.-2-(2)2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0化简为－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化简为tanα－6sinβ＝1，因而sinβ＝13.故填13.(3)①由角α的终边过点P－35，－45得sinα＝－45，所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.②由角α的终边过点P－35，－45得cosα＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．[对点训练]1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4，3)，则cosπ2＋αsin（－π－α）cos11π2－αsin9π2＋α的值为________．解析：原式＝－sinα·sinα－sinα·cosα＝tanα.根据三角函数的定义，得tanα＝yx＝－34，所以原式＝－34.答案：－342．已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________．-3-解析：法一：因为sinθ＋π4＝35，所以cosθ－π4＝sinπ2＋θ－π4＝sinθ＋π4＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sinθ－π4＝－1－352＝－45，所以tanθ－π4＝sinθ－π4cosθ－π4＝－43.法二：因为θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cosθ＋π4＝45，所以tanθ－π4＝sinθ－π4cosθ－π4＝－cosπ2＋θ－π4sinπ2＋θ－π4＝－cosθ＋π4sinθ＋π4＝－43.答案：－43三角函数的图象及应用[核心提炼]函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换y＝sinx――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)――――――――――――――――――→纵坐标变为原来的A（A＞0）倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．[典型例题]-4-(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sin2x－π6B．y＝2sin2x－π3C．y＝2sinx＋π6D．y＝2sinx＋π3(2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为()A.3π4B.π4C．0D．－π4(3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f(x)＝2sinx，x∈[0，π]|cosx|，x∈（π，2π]，若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是()A．(0，1)B．[1，2]C．(0，1]D．(1，2)【解析】(1)由题图易知A＝2，因为周期T满足T2＝π3－－π6，所以T＝π，ω＝2πT＝2.由x＝π3时，y＝2可知2×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－π6＋2kπ(k∈Z)，结合选项可知函数解析式为y＝2sin2x－π6.(2)令y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，则fx＋π8＝sin2x＋π8＋φ＝sin2x＋π4＋φ，因为fx＋π8为偶函数，所以π4＋φ＝kπ＋π2，所以φ＝kπ＋π4，k∈Z，所以当k＝0时，φ＝π4.-5-故φ的一个可能的值为π4.故选B.(3)画出函数f(x)在[0，2π]的图象，如图所示：若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即y＝f(x)和y＝m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，知0＜m＜1.【答案】(1)A(2)B(3)A解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．[对点训练]1．(2019·兰州市诊断考试)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，若x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A.12B.22C.32D．1解析：选C.由图知，T2＝π2，即T＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为点π3，0在函数f(x)的图象上，-6-所以sin2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3，因为x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x22＝π12，所以x1＋x2＝π6，所以f(x1＋x2)＝sin2×π6＋π3＝32.2．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析：选D.易知C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图象，即曲线C2，故选D.三角函数的性质[核心提炼]1．三角函数的单调区间-7-y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)．2．y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ2(k∈Z)时为奇函数．[典型例题]已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．【解】(1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，f2π3＝322－－122－23×32×－12，得f2π3＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinx·cosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，-8-所以，f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．三角函数的单调性、周期性及最值的求法(1)三角函数单调性的求法求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求解．(2)三角函数周期性的求法函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝π|ω|.(3)三角函数最值(或值域)的求法在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值．[对点训练]1．(2019·杭州市高三期末检测)设A，B是函数f(x)＝sin|ωx|与y＝－1的图象的相邻两个交点，若|AB|min＝2π，则正实数ω＝()A.12B．1C.32D．2解析：选B.函数f(x)＝sin|ωx|＝sinωx，x≥0－sinωx，x＜0，ω为正数，所以f(x)的最小值是－1，如图所示：设A，B是函数f(x)＝sin|ωx|与y＝－1的图象的相邻两个交点，且|AB|min＝T＝2πω＝2π，解得ω＝1.故选B.2．(2019·台州调研)设函数f(x)＝cosωx－π6(ω0)．若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．