2021高考数学一轮复习 第2章 函数 第6节 指数与指数函数教学案 理 北师大版

1第六节指数与指数函数[最新考纲]1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图像.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a＝nam(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)；②负分数指数幂：a＝1a＝1nam(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图像与性质y＝axa＞10＜a＜1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数[常用结论]1．指数函数图像的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，－1，1a.22．指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)nan＝(na)n＝a.()(2)(－1)＝(－1)＝－1.()(3)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()(4)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．函数f(x)＝21－x的大致图像为()ABCDA[f(x)＝21－x＝12x－1，又f(0)＝2，f(1)＝1，故排除B，C，D，故选A.]2．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图像经过点P2，12，则f(－1)＝________.2[由题意知12＝a2，所以a＝22，所以f(x)＝22x，所以f(－1)＝22－1＝2.]3．化简416x8y4(x＜0，y＜0)＝________.[答案]－2x2y4．已知a＝35，b＝35，c＝32，则a，b，c的大小关系是________．3c＜b＜a[∵y＝35x是减函数，∴35＞35＞350，则a＞b＞1，又c＝32＜320＝1，∴c＜b＜a.]考点1指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．1.化简14·4ab－130.1－1·a3·b－3(a＞0，b＞0)＝________.85[原式＝2×23·a·b10·a·b＝21＋3×10－1＝85.]2．计算：－278＋0.002－10(5－2)－1＋π0＝________.－1679[原式＝－32－2＋500－105＋25－25＋2＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.]3．化简：＝________(a＞0)．a2[原式＝×＝a2.]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，4形式力求统一．考点2指数函数的图像及应用(1)与指数函数有关的函数图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称、翻折变换得到其图像．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．(1)函数f(x)＝ax－b的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．(1)D(2)(0,1)[(1)由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.(2)曲线y＝|3x－1|的图像是由函数y＝3x的图像向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图像是平行于x轴的一条直线，它的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．][母题探究]1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．(0，＋∞)[作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图像如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞)．]2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图像不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．5(－∞，－1][作出函数y＝|3x－1|＋m的图像如图所示．由图像知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．]应用指数函数图像的技巧(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．1.函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是()ABCDA[f(x)＝1－e|x|是偶函数，图像关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0，符合条件的图像只有A.]2．函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．(0,1)[因为函数y＝ax－b的图像经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图像与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得0＜a＜1，1－b＜0，解得0＜a＜1，b＞1，故ab∈(0,1)．]3．已知实数a，b满足等式2019a＝2020b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________(填序号)．③④[作出y＝2019x及y＝2020x的图像如图所示，由图可知a6＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2019a＝2020b，故③④不可能成立．]考点3指数函数的性质及应用指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．比较指数式的大小(1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a(2)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝1a0.1的大小关系是()A．M＝NB．M≤NC．M＜ND．M＞N(1)A(2)D[(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图像可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.(2)因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝1a0.1＜1，所以M＞N.故选D.]指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是(0,1)还是(1，＋∞)，若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较，如本例(1)．解简单的指数方程或不等式(1)已知函数f(x)＝a＋14x＋1的图像过点1，－310，若－16≤f(x)≤0，则实数x的取值范围是________．(2)方程4x＋|1－2x|＝11的解为________．(1)0，12(2)x＝log23[(1)∵f(x)＝a＋14x＋1的图像过点1，－310，∴a＋15＝－310，即a＝－12.∴f(x)＝－12＋14x＋1.∵－16≤f(x)≤0，7∴－16≤14x＋1－12≤0，∴13≤14x＋1≤12，∴2≤4x＋1≤3，即1≤4x≤2，∴0≤x≤12.(2)当x≥0时，原方程化为4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0.∴(2x－3)(2x＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23.当x＜0时，原方程化为4x－2x－10＝0.令t＝2x，则t2－t－10＝0(0＜t＜1)．由求根公式得t＝1±1＋402均不符合题意，故x＜0时，方程无解．](1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x)．(3)有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题．与指数函数有关的复合函数的单调性(1)函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的单调减区间为________．(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．(1)(－∞，1](2)[0，＋∞)[(1)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝12u在R上为减函数，所以函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]．(2)设t＝2x(t＞0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．][逆向问题]已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．(－∞，4][令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)8上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．]求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．指数函数性质的综合应用(1)函数f(x)＝a＋bex＋1(a，b∈R)是奇函数，且图像经过点ln3，12，则函数f(x)的值域为()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－3,3)D．(－4,4)(2)若不等式1＋2x＋4x·a＞0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________．(1)A(2)－34，＋∞[(1)函数f(x)为奇函数，定义域是R，则f(0)＝a＋b2＝0①，函数图像过点ln3，12，则f(ln3)＝a＋b4＝12②.结合①②可得a＝1，b＝－2，则f(x)＝1－2ex＋1.因为ex＞0，所以ex＋1＞1，所以0＜2ex＋1＜2，所以－1＜1－2ex＋1＜1，即函数f(x)的值域为(－1,1)．(2)从已知不等式中分离出实数a，得a＞－14x＋12x.因为函数y＝14x和y＝