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17.1.2弧度制及其与角度制的换算学习目标核心素养1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点)2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)1.通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2.借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养.1.角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．2.角的弧度数的计算在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对圆心角为αrad，则α＝lr.3.角度与弧度的互化4．一些特殊角与弧度数的对应关系角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0π12π6π4π35π12π22π33π45π6角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度π7π65π44π33π25π37π411π62π思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？[提示]这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确2的表示方法应为αα＝2kπ＋π6，k∈Z或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．5．扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝απr180°l＝αr扇形的面积S＝απr2360°S＝12lr＝12αr2思考2：在弧度制下的扇形面积公式S＝12lr可类比哪种图形的面积公式加以记忆？[提示]此公式可类比三角形的面积公式来记忆．1.1080°等于()A．1080B．π10C．3π10D．6πD[1080°＝180°×6，所以1080°化为弧度是6π.]2.与角23π终边相同的角是()A．113πB．2kπ－23π(k∈Z)C．2kπ－103π(k∈Z)D．(2k＋1)π＋23π(k∈Z)C[选项A中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A项错；2kπ－23π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B项错；2kπ－103π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋23π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D项错．]3.圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________．6π[扇形的面积为12×62×π3＝6π.]3弧度制的概念【例1】下列命题中，假命题是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12πC．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D[根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系区别①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；②定义不同联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值1.下列各说法中，错误的说法是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度[答案]D角度制与弧度制的转换【例2】设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．[思路探究]由题目可获取以下主要信息：4(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π；(2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k·360°(k∈Z)的形式．[解](1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z,0≤α02π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－196π＝－4π＋56π，α2＝750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限．(2)β1＝3π5＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)，由－720°≤θ0°，得－720°≤108°＋k·360°0°，∴k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.角度制与弧度制的转换中的注意点1在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键.由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π°＝度数.2特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.3在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法.4判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．5[解]因为30°＝π6rad,210°＝7π6rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋π6，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋π2，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为θkπ＋π6θkπ＋π2，k∈Z.弧长公式与扇形面积公式的应用[探究问题]1.用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？[提示]应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2.在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？[提示]若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．【例3】(1)设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1radB．2radC．3radD．4rad(2)已知扇形的周长为20cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路探究](1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得．(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．(1)B[设扇形半径为r，弧长为l，由题意得2r＋l＝8，12l·r＝4，解得l＝4，r＝2，则圆心角α＝lr＝2rad.](2)[解]设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.6则l＝20－2r，∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)．∴当半径r＝5cm时，扇形的面积最大，为25cm2.此时α＝lr＝20－2×55＝2rad.∴当它的半径为5cm，圆心角为2rad时，扇形面积最大，最大面积为25cm2.(变条件)用30cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[解]设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r，从而S＝12·l·r＝12(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－r－1522＋2254.∴当半径r＝152cm时，l＝30－2×152＝15cm，扇形面积的最大值是2254cm2，这时α＝lr＝2rad.∴当扇形的圆心角为2rad，半径为152cm时，面积最大，为2254cm2.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12αr2和S＝12lr；(这里α必须是弧度制下的角)；(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.1.释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为α，l，r，S，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l＝α·r，α＝lr，r＝lα；②S＝12αr2，α＝2Sr2.72.角度制与弧度制的比较角度制用度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“°”不能省略角的正负与方向有关六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad”可以省略角的正负与方向有关十进制1.把56°15′化为弧度是()A．5π8B．5π4C．5π6D．5π16D[56°15′＝56.25°＝2254×π180＝5π16.]2.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()A．403πB．203πC．2003πD．4003πA[240°＝240×π180rad＝43πrad，∴弧长l＝α·r＝43π×10＝403π，选A．]3.将－1485°化成2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式为________．－10π＋74π[由－1485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示为－10π＋74π.]4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4.①由扇形的面积公式S＝12lr，得12lr＝1.②由①②得r＝1，l＝2，∴α＝lr＝2rad.∴扇形的圆心角为2rad.