2021版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.2 二项式定理教学案 苏

-1-第二节二项式定理[最新考纲]会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn.2．二项式系数的性质(1)0≤r≤n时，Crn与Cn－rn的关系是Crn＝Cn－rn.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第n＋12项和n＋32项的二项式系数最大，最大值为.3．各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Crnan－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)通项Tr＋1＝Crnan－rbr中的a和b不能互换．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为()A．6B．－6C．24D．－24-2-A[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C24＝6.故选A.]2．二项式12x－2y5的展开式中x3y2的系数是()A．5B．－20C．20D．－5A[二项式12x－2y5的通项为Tr＋1＝Cr512x5－r(－2y)r.根据题意，得5－r＝3，r＝2，解得r＝2.所以x3y2的系数是C25123×(－2)2＝5.故选A.]3.C02019＋C12019＋C22019＋…＋C20192019C02020＋C22020＋C42020＋…＋C20202020的值为()A．1B．2C．2019D．2019×2020A[原式＝2201922020－1＝2201922019＝1.故选A.]4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为．8[令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.]考点1二项式展开式的通项公式的应用形如(a＋b)n的展开式问题求二项展开式中的项的3种方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求r，再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围(r＝0,1,2，…，n)．(1)第m项：此时r＋1＝m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．(1)(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80(2)若ax2＋1x5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝.(3)(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是；系数为有理数-3-的项的个数是．(1)C(2)－2(3)1625[(1)Tr＋1＝Cr5(x2)5－r2xr＝Cr52rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C25×22＝40.(2)ax2＋1x5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(ax2)5－r·x－r2＝Cr5a5－r·x10－52r，令10－52r＝5，得r＝2，所以C25a3＝－80，解得a＝－2.(3)由题意，(2＋x)9的通项为Tr＋1＝Cr9(2)9－rxr(r＝0,1,2…9)，当r＝0时，可得常数项为T1＝C09(2)9＝162；若展开式的系数为有理数，则r＝1,3,5,7,9，有T2,T4,T6,T8,T10共5个项．]已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．[教师备选例题]1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87B[1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.]1.在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为．160x6[因为(x2－4)5的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck5(x2)5－k(－4)k＝(－4)kCk5x10－2k，令10－2k＝6，得k＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2·C25x6＝160x6.]2．若x2＋1ax6的展开式中常数项为1516，则实数a的值为()A．±2B.12C．－2D．±12形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路-4-(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．(1)(2017·全国卷Ⅰ)1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35(2)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A．－4B．－3C．3D．4(1)C(2)B[(1)因为(1＋x)6的通项为Cr6xr，所以1＋1x2(1＋x)6展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4.因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.(2)(1－x)6(1＋x)4＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2＝(1－x)4(1－2x＋x)．于是(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数为C04·1＋C14·(－1)1·1＝－3.]求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．1.(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项是()A．－3B．－2C．2D．3D[能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x2项，第二个因式取1x2项得x2×1x2×C45(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C55＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.]2．若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于()-5-A.13B.12C．1D．2D[由题意得x＋1x10的展开式的通项公式是Tk＋1＝Ck10·x10－k·1xk＝Ck10x10－2k，x＋1x10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C310，C210，因此由题意得C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.]形如(a＋b＋c)n的展开式问题求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．(1)将x＋4x－43展开后，常数项是．(2)x2－2x＋y6的展开式中，x3y3的系数是．(用数字作答)(3)设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于．(1)－160(2)－120(3)－240[(1)x＋4x－43＝x－2x6展开式的通项是Ck6(x)6－k·－2xk＝(－2)k·Ck6x3－k.令3－k＝0，得k＝3.所以常数项是C36(－2)3＝－160.(2)x2－2x＋y6表示6个因式x2－2x＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－2x，即可得到x3y3的系数．即x3y3的系数是C36C23×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.(3)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，其展开式中x的系数a1＝C45(－1)4×(－2)5＋(－1)5C45(－2)4＝－240.]二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．1.(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为()A．10B．20-6-C．30D．60C[法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2项的系数为C25C13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.]2.x－13x－y6的展开式中含xy的项的系数为()A．30B．60C．90D．120B[展开式中含xy的项来自C16(－y)1x－13x5，x－13x5展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCr5x5－43r，令5－43r＝1⇒r＝3，x－13x5展开式中x的系数为(－1)3C35，所以x－13x－y6的展开式中含xy的项的系数为C16(－1)C35(－1)3＝60，故选B.]考点2二项式系数的和与各项的系数和问题赋值法在求各项系数和中的应用(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.(1)在x＋3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的-7-系数为()A．50B．70C．90D．120(2)(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为．(1)C(2)－3或1[(1)令x＝1，则x＋3xn＝4n，所以x＋3xn的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cr5x5－r3xr＝Cr53rx5－32r，令5－32r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C2532＝90，故选C.(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.](1)利用赋值法求解时，注意各项的系