2021高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第7节 双曲线教学案 文 北师大版

-1-第七节双曲线[最新考纲]1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第161页)1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.①当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a＞|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；-2-a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.[常用结论]1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径．2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.4．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．5．当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．双曲线x23－y22＝1的焦距为()A．5B.5C．25D．1C[由双曲线x23－y22＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝5，所以双曲线x23－y22＝1的焦距为25.]2．以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1-3-C．x2－y22＝1D.x24－y23＝1A[设要求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆x24＋y23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线的标准方程为x2－y23＝1.]3．已知双曲线x2a2－y23＝1(a0)的离心率为2，则a＝()A．2B.62C.52D．1D[依题意，e＝ca＝a2＋3a＝2，∴a2＋3＝2a，则a2＝1，a＝1.]4．经过点A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．x216－y216＝1[设双曲线的方程为x2－y2＝λ，把点A(5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为x216－y216＝1.](对应学生用书第162页)⊙考点1双曲线的定义及应用双曲线定义的两个应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的关系．(1)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上均不对-4-(2)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x22－y214＝1(x≥2)B.x22－y214＝1(x≤－2)C.x22＋y214＝1(x≥2)D.x22＋y214＝1(x≤－2)(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．8(1)B(2)A(3)B[(1)根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.(2)设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，所以|MC1|－|MC2|＝22，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝22的双曲线的右支上，即a＝2，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为x22－y214＝1(x≥2)，故选A.(3)由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4，故选B.][母题探究]1．本例(3)中，若将条件“∠F1PF2＝60°”改为|PF1|＝2|PF2|，试求cos∠F1PF2的值．[解]根据双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2，则|PF1|＝2|PF2|＝4，又|F1F2|＝22∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝42＋22－2222×4×2＝34.2．本例(3)中，若将条件“∠F1PF2＝60°”，改为PF1→·PF2→＝0，则△F1PF2的面积是多少？[解]不妨设点P在双曲线的右支上．则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，由PF1→·PF2→＝0，得PF1→⊥PF2→.-5-在△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝8，∴|PF1||PF2|＝2.∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|＝1.(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T(1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T(2)．1.已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A.x24－y25＝1(y＞0)B.x24－y25＝1(x＞0)C.y24－x25＝1(y＞0)D.y24－x25＝1(x＞0)B[由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为x2a2－y2b2＝1(x＞0，a＞0，b＞0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为x24－y25＝1(x＞0)．]2．已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48B．24C．12D．6B[由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝24.]3．若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是()A．8B．9C．10D．12B[由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，-6-则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．]⊙考点2双曲线的标准方程求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．(1)(2019·荆门模拟)方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3(2)[一题多解]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的标准方程是()A.7x216－y212＝1B.y23－x22＝1C．x2－y23＝1D.3y223－x223＝1(3)(2018·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1(1)B(2)C(3)C[(1)方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线，则(m＋2)(m－3)＜0，解得－2＜m＜3.∵要求充分不必要条件，∴选项范围是－2＜m＜3的真子集，只有选项B符合题意．故选B.(2)法一：当其中的一条渐近线方程y＝3x中的x＝2时，y＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题-7-意得4a2－9b2＝1，ba＝3，解得a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.法二：因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，即y3＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－y23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.(3)如图，不妨设A在B的上方，则Ac，b2a，Bc，－b2a.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝bc－b2＋bc＋b2a2＋b2＝2bcc＝2b＝6，∴b＝3.又由e＝ca＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝3.∴双曲线的方程为x23－y29＝1.故选C.]已知双曲线的渐近线方程，用渐近线方程设出双曲线方程，运算过程较为简单．[教师备选例题]设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．y24－x25＝1[法一：椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，根据双曲线的定义知2a＝|15－02＋4－32－15－02＋4＋32|＝4，故a＝2.又b2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.法二：椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝9，①又点(15，4)在双曲线上，所