2021版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程教学案 苏教

-1-第八章平面解析几何全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制1～2道小题，1道解答题，分值占20～24分.2.考查内容(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基.(2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力.3.备考策略：从近几年高考试题可以看出，高考对圆锥曲线的考查在注重基础、突出转化能力的同时运算量有所减小.第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[最新考纲]1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．-2-2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tanα.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面内所有直线都适用[常用结论]1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系如图，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．2．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．3．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√-3-二、教材改编1．已知两点A(－3，3)，B(3，－1)，则直线AB的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33D[kAB＝3＋1－3－3＝－33，故选D.]2．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为()A.3x－3y＋6＋3＝0B.3x－3y－6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0A[直线的斜率k＝tan30°＝33.由点斜式方程得y－2＝33(x＋1)，即3x－3y＋6＋3＝0，故选A.]3．如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[法一：由Ax＋By＋C＝0得y＝－ABx－CB.又AC＜0，BC＜0，故AB＞0，从而－AB＜0，－CB＞0，故直线不通过第三象限．故选C.法二：取A＝B＝1，C＝－1，则直线x＋y－1＝0，其不过第三象限，故选C.]4．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0[若直线过原点，则k＝－43，所以y＝－43x，即4x＋3y＝0.若直线不过原点，设xa＋ya＝1，即x＋y＝a，则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线方程为x＋y＋1＝0.]考点1直线的倾斜角与斜率求倾斜角的取值范围的一般步骤-4-(1)求出斜率k＝tanα的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在．(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．(1)B(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)[(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的取值范围是π4，π3.(2)如图，∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，要使过点P的直线l与线段AB有公共点，只需k≥1或k≤－3，即直线l斜率的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．][母题探究]1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．[解]∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)，∴kAP＝1－02－－1＝13，kBP＝3－00－－1＝3.如图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.-5-2．若将本例(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．[解]如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想；(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．1.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于()A．1±2或0B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0A[∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，即a2＋a2－1＝a3＋a3－1，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±2.故选A.]2．直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是．π4，π2[直线l的斜率k＝1＋m23－2＝1＋m2≥1，所以k＝tanα≥1.又y＝tanα在0，π2上是增函数，因此π4≤απ2.]考点2直线方程的求法求直线方程的2种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应-6-注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.[解](1)法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.-7-解方程组x＝1，2x＋y－6＝0，求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组2x＋y－6＝0，y＋1＝kx－1，得两直线交点为x＝k＋7k＋2，y＝4k－2k＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行)．则B点坐标为k＋7k＋2，4k－2k＋2.由已知k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝52，解得k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.求直线方程应注意2点(1)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．(2)截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．[教师备选例题]求适合下列条件的直线的方程：(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点(－3，3)，且倾斜角为直线3x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.[解](1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝35.-8-∴cosα＝±45，直线的斜率k＝tanα＝±34.又直线在y轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y＝±34x－5.即3x－4y－20＝0或3x＋4y＋20＝0.(2)由3x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3.又过点(－3，3)，所以所求直线方程为y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|1＋k2＝5，解得k＝34.此时直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．[解](1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－12，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.考点3直线方程的综合应用处理直线方程综合应用的2大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利-9-用基本不等式求解最值．(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(1)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a＝.(2)过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．①当△AOB面积最小时，求直线l的方程；②当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．(1)12[由题意知直线l1，l2恒过定点(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×