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-1-第1讲集合、常用逻辑用语集合的概念及运算[核心提炼]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝()A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则()∁UA∩B＝()A．{－1}B．{0，1}C．{－1，2，3}D．{－1，0，1，3}(3)(2019·金华模拟)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，则S∩(∁UT)＝________，集合S共有________个子集．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}，故选C.(2)由题意可得∁UA＝{－1，3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A.(3)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，所以∁UT＝{1，4，5}，所以S∩(∁UT)＝{1，5}，S＝{1，2，5}的子集的个数为23＝8.【答案】(1)C(2)A(3){1，5}8-2-集合的运算与不等式相结合问题求解策略解决此类问题的思路主要有两个：一是直接法，即先化简后运算，也就是先解不等式求出对应集合，然后利用数轴表示，从而求得集合运算的结果；二是间接法，由于此类问题多以选择题的形式进行考查，故可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证，排除干扰项从而得到正确选项．[对点训练]1．(2019·宁波市高考模拟)已知全集U＝A∪B＝{}x∈Z|0≤x≤6，A∩(∁UB)＝{}1，3，5，则B＝()A.{}2，4，6B.{}1，3，5C.{}0，2，4，6D.{}x∈Z|0≤x≤6解析：选C.因为U＝A∪B＝{}0，1，2，3，4，5，6，又因为A∩(∁UB)＝{}1，3，5，所以B＝{}0，2，4，6，故选C.2．(2019·温州二模)已知集合A＝{x||x－1|≤2}，B＝{x|0x≤4}，则(∁RA)∩B＝()A．{x|0x≤3}B．{x|－3≤x≤4}C．{x|3x≤4}D．{x|－3x≤0}解析：选C.A＝{x|－1≤x≤3}，画数轴可知，(∁RA)∩B＝{x|3x≤4}，故选C.3．(2019·绍兴、诸暨高考二模)已知A＝{}x|－2≤x≤0，B＝{}x|x2－x－2≤0，则A∪B＝__________，(∁RA)∩B＝________．解析：A＝{}x|－2≤x≤0，B＝{}x|x2－x－2≤0＝{}x|－1≤x≤2，∁RA＝{}x|x＞0或x＜－2，则A∪B＝{}x|－2≤x≤2＝[－2，2]；(∁RA)∩B＝{x|0＜x≤2}＝(0，2]．答案：[－2，2](0，2]-3-命题真假的判断[核心提炼]1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．常见词语的否定在四种命题的构造中，其中否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．词语词语的否定等于不等于大于不大于(或小于等于)小于不小于(或大于等于)是不是一定是不一定是都是不都是(至少有一个不是)必有一个一个也没有任意的某一个且或或且至多有一个至少有两个至多有n个至少有n＋1个至少有一个一个也没有至少有n个至多有n－1个所有x成立存在一个x不成立存在不存在[典型例题](1)(2019·诸暨市高考二模)已知数列{an}的前n项和是Sn，则下列四个命题中，错误的是()A．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{Snn}是公差为d2的等差数列-4-B．若数列{Snn}是公差为d的等差数列，则数列{an}是公差为2d的等差数列C．若数列{an}是等差数列，则该数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列D．若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}是等差数列(2)(2019·杭州市数学期末)若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，m∥α，则l∥mB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l⊥α，l∥m，则m⊥α【解析】(1)A项，若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列{Snn}为等差数列，且通项为Snn＝a1＋(n－1)d2，即数列{Snn}是公差为d2的等差数列，故说法正确；B项，由题意得：Snn＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋n(n－1)d，则an＝Sn－Sn－1＝a1＋2(n－1)d，即数列{an}是公差为2d的等差数列，故说法正确；C项，若数列{an}是等差数列的公差为d，则数列的奇数项，偶数项都是公差为2d的等差数列，说法正确；D项，若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选D.(2)A项，若l∥α，m∥α，则l∥m或相交或为异面直线，因此不正确；B项，若l⊥m，m⊂α，则l与α相交或平行或在平面内，因此不正确；C项，若l∥α，m⊂α，则l∥m或为异面直线，因此不正确；D项，若l⊥α，l∥m，则由线面垂直的性质定理与判定定理可得：m⊥α，正确．故选D.【答案】(1)D(2)D命题真假的判定方法一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断，要判断一个命题是假命题，只需举出反例．[对点训练]1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立-5-C．若f(7)49成立，则当k≥8时，均有f(k)k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：选D.因为f(k)≥k2成立时f(k＋1)≥(k＋1)2成立，当k＝4时，f(4)＝25≥16＝42成立，所以当k≥4时，有f(k)≥k2成立．2．(2019·浙江新高考数学冲刺)给出下列命题：①函数f(x)＝sin(x2＋π6)的图象关于x＝π对称的图象的函数解析式为y＝sin(x2－π6)；②函数f(x)＝x－1＋1x在定义域上是增函数；③函数f(x)＝|log2x|－(12)x在(0，＋∞)上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1.其中真命题的个数有()A．0B．1C．2D．3解析：选D.①由f(x)＝sin(x2＋π6)，设其图象关于x＝π对称的图象的函数解析式为y＝g(x)，设g(x)上一点(x，y)，它关于x＝π的对称点是(2π－x，y)，这个对称点必然在f(x)上，所以y＝sin(2π－x2＋π6)＝sin(x2－π6)，故①正确；②函数f(x)＝x－1＋1x＝(x－1)12＋1x的定义域为[1，＋∞)，且f′(x)＝12(x－1)－12－1x2＝12x－1－1x2，因为(x－2)2≥0，所以x2≥4x－4，即x≥2x－1，又当x≥1时，x2≥x，所以x2≥2x－1，所以f′(x)＝12(x－1)－12－1x2＝12x－1－1x2≥0，函数f(x)＝x－1＋1x在定义域上是增函数，故②正确；③画出函数g(x)＝|log2x|－(12)x在(0，＋∞)的图象：-6-上恰有两个零点x1，x2.不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2.－log2x1＝(12)x1，log2x2＝(12)x2.所以log2(x1x2)＝(12)x2－(12)x1＜0，所以x1·x2＜1，故③正确．所以正确的命题的个数是3.故选D.充要条件的判断及证明[核心提炼]充分、必要条件的判断方法利用定义判断直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假从集合的角度判断若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件利用等价转化法判断条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)若a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)通解：因为a0，b0，所以a＋b≥2ab，由a＋b≤4可得2ab≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝13，满足ab≤4，但a＋b4，所以必-7-要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同一直角坐标系内作出函数b＝4－a，b＝4a的图象，如图所示，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝4a及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.(2)若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.【答案】(1)A(2)A判断充分、必要条件时应关注的三点(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件．[对点训练]1．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d0⇔S4＋S62S5，故选C.2．(2019·高三“吴越联盟”)已知a，b∈R，则使|a|＋|b|4成立的一个充分不必要条件是()A．|a|＋|b|≥4B．|a|≥4C．|a|≥2且|b|≥2D．b－4解析：选D.由b－4可得|a|＋|b|4，但由|a|＋|b|4得不到b－4，如a＝1，b＝5.3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：“a＋b＞c＋d”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．-8-证明：充分性：因为a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.必要性：因为|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，所以(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＞c＋d.综上，“a＋b＞c＋d”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．专题强化训练[基础达标]1．已知