2021高考数学一轮复习 第2章 函数 第9节 函数与方程教学案 理 北师大版

1第九节函数与方程[最新考纲]结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．(4)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210[常用结论]有关函数零点的3个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()2(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个B[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]2．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)C[由题意得f(1)＝ln1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3＞0，f(4)＝ln4＋8－6＝ln4＋2＞0，∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．]3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．1[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函数f(x)有且只有一个零点．]4．函数f(x)＝x12－12x的零点个数为________．1[作函数y1＝x12和y2＝12x的图像如图所示．由图像知函数f(x)有1个零点．]3考点1函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．(2)零点存在性定理．(3)数形结合法，画出相应函数图像，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断．1.函数f(x)＝lnx－2x2的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)B[由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)＜0，f(2)＝ln2－12＝ln2－lne＞0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内A[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.]3．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点在k2，k＋12(k∈Z)内，那么k＝________.5[∵f′(x)＝1x＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且f52＝ln52－1＜0，f(3)＝ln3＞0，∴f(x)的零点在52，3内，则整数k＝5.](1)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图像连续不断，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．考点2函数零点个数的判断函数零点个数的讨论，基本解法有(1)直接法，令f(x)＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点．4(2)定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图像法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数．(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5(2)函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x＞0，2x＋1，x≤0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4(1)B(2)D(3)C[(1)由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx·(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.(2)依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝lnx与y＝x2－2x的图像(如图)，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点．故选D.(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图像，如图所示，两函数图像有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.]5(1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图像在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(2)图像法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图像．在画函数的图像时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．1.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4B[令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝12x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x.在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B.]2．已知函数f(x)＝－2，x＞0，－x2＋bx＋c，x≤0，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．3[依题意得c＝－2，－1－b＋c＝1，由此解得b＝－4，c＝－2.由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，该方程等价于x＞0，－2＋x＝0，①或x≤0，－x2－4x－2＋x＝0.②6解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.]考点3函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的3种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解．根据函数零点个数求参数已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．(0,1)∪(9，＋∞)[设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图像如图所示．由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图像有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以y＝－x2－3x，y＝a1－x有两组不同解，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a＞0，即a2－10a＋9＞0，解得a＜1或a＞9.又由图像得a＞0，∴0＜a＜1或a＞9.]由函数的零点个数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图像的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．根据函数有无零点求参数已知函数f(x)＝0，x≤0，ex，x＞0，则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是________．(－∞，0]∪(1，＋∞)[函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝x，x≤0，ex＋x，x＞0的大致图像(图略)．7观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．]函数有无零点问题⇔函数图像与x轴有无公共点问题．根据零点的范围求参数若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________．14，12[依题意，结合函数f(x)的图像分析可知m需满足m≠2，f－1·f0＜0，f1·f2＜0，即m≠2，[m－2－m＋2m＋1]2m＋1＜0，[m－2＋m＋2m＋1][4m－2＋2m＋2m＋1]＜0，解得14＜m＜12.]此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．1.函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)C[因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.]2．方程log12(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．1[若方程log12(a－2x)＝2＋x有解，则122＋x＝a－2x有解，即1412x＋2x＝a有解，因为1412x＋2x≥1，故a的最小值为1.]3．已知函数f(x)＝x2－1，x＜1，log12x，x≥1，若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．(－1,0)[关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y1＝f(x)与函数y28＝k的图像有三个不同的交点，作出函数的图像如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．]