2021高考数学一轮复习 第12章 选修4-4 第1节 绝对值不等式教学案 理 北师大版

1第12章选修4-4全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本题为高考选做题，以解答题形式出现，分值10分．2.考查内容(1)参数方程、极坐标与曲线的关系；(2)由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题及应用等，考查知识点较为简单和稳定．3.备考策略从2019年高考试题可以看出，高考对该点的考查既注重基础又注重能力且难度较前几年有所加大.第一节坐标系[最新考纲]1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)半径为r的圆ρ＝2rcos_θ－π2≤θ＜π2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(θ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a－π2＜θ＜π2过点α，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一3一对应关系．()(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是2，－π3.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．()(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×二、教材改编1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A．1，π2B．1，－π2C．(1,0)D．(1，π)B[法一：由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.法二：由ρ＝－2sinθ＝2cosθ＋π2，知圆心的极坐标为1，－π2，故选B.]2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4A[∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，∴ρ＝1sinθ＋cosθ0≤θ≤π2.]3．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x，y′＝3y，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．y′＝3sin2x′[由x′＝12x，y′＝3y，知x＝2x′，y＝13y′，代入y＝sinx中得y′＝3sin2x′.]4．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________．2，－π3[因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的4角为－π3，所以点P的极坐标为2，－π3.]考点1平面直角坐标系中的伸缩变换伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝fx′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．1.求椭圆x24＋y2＝1经过伸缩变换x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．[解]由x′＝12x，y′＝y，得到x＝2x′，y＝y′.①将①代入x24＋y2＝1，得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆x29＋y24＝1的一个伸缩变换公式为φ：X＝axa＞0，Y＝byb＞0，求a，b的值．[解]由X＝ax，Y＝by得x＝1aX，y＝1bY，代入x2＋y2＝1中得X2a2＋Y2b2＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．5考点2极坐标系与直角坐标系的互化1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定方法由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tanθ＝yx按上述方法确定．当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝π2；当x＝0，y＜0时，可取θ＝3π2.(1)(2019·广州模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ2π)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．②求圆O和直线l的直角坐标方程；③当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．(2)(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC︵，曲线M3是弧CD︵.①分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；②曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．[解](1)①由圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ2＝x2＋y2，代入ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，得x2＋y2＝x＋y，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x6－y＝0.由直线l：ρsinθ－π4＝22，得ρsinθ－ρcosθ＝1.∵x＝ρcosθy＝ρsinθ，∴y－x＝1.故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.②由①知圆O与直线l的直角坐标方程，由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，解得x＝0，y＝1，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，又∵θ∈(0，π)，∴点(0,1)的极坐标为1，π2.(2)①由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.②设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.(1)极坐标与直角坐标的互化依据是x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；(2)互化时要注意前后的等价性．[教师备选例题]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．[解](1)由ρcosθ－π3＝1得7ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而曲线C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y－2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6.所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解](1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2，即ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝2.所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.考点3极坐标方程的应用利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标8表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小．(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[解](1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是