2021高考数学一轮复习 第13章 选修4-5 第1节 绝对值不等式教学案 文 北师大版

-1-第13章选修4-5全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中考查1道解答题，分值10分.2.考查内容高考对本章内容的考查主要体现在以下两个方面：(1)绝对值不等式的求解及绝对值不等式与函数问题的综合；(2)绝对值不等式的恒成立问题及与不等式的证明相结合.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①含绝对值不等式的解法问题；②利用绝对值三角不等式求最值问题；③不等式的解集与参数问题；④证明不等式问题.(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.第一节绝对值不等式[最新考纲]1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.(对应学生用书第211页)-2-1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)|x|a与|x|a型不等式的解法：不等式a0a＝0a0|x|a{x|－a＜x＜a}|x|a{x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图像求解．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．()(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材改编1．不等式1|x＋1|3的解集为()A．(0,2)B．(－2,0)∪(2,4)C．(－4,0)D．(－4，－2)∪(0,2)D[原不等式等价于1x＋13或－3x＋1－1，∴0x2或－4x－2，∴原不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)，故选D.]2．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为()A．2B．4C．6D．10A[由|x－4|＋|x－6|的几何意义可知|x－4|＋|x－6|≥2，故选A.]-3-3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.2[由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．{x|x≥1}[令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝－3，x≤－1，2x－1，－1＜x＜2，3，x≥2.当－1＜x＜2时，由2x－1≥1，解得1≤x＜2.又当x≥2时，f(x)＝3＞1恒成立．所以不等式的解集为{x|x≥1}．](对应学生用书第212页)⊙考点1绝对值不等式的常用解法解绝对值不等式的常用方法基本性质法对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解(1)解不等式x＋|2x＋3|≥2.(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.①当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；②若x∈(0,1)时，不等式f(x)x成立，求a的取值范围．[解](1)原不等式可化为x＜－32，－x－3≥2或x≥－32，3x＋3≥2.解得x≤－5或x≥－13.综上，原不等式的解集是xx≤－5或x≥－13.(2)①当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，-4-即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1x1，2，x≥1.故不等式f(x)1的解集为xx12.②当x∈(0,1)时，|x＋1|－|ax－1|x成立等价于当x∈(0,1)时，|ax－1|1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；若a0，|ax－1|1的解集为x0x2a，所以2a≥1，故0a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．解答例(2)第②问时，求出|ax－1|＜1的解集x0＜x＜2a后，易错误的认为2a＜1，导致解题错误．[教师备选例题]已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得23＜x＜1；当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.所以f(x)＞1的解集为x23＜x＜2.(2)由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x＜－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x＞a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，-5-△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)2＞6，故a＞2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤－1＋172.所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋172.(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．⊙考点2绝对值三角不等式的应用利用绝对值三角不等式求最值(或证明)(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．(1)若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．[解]因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.(2)若a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.[证明]因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，-6-又a≥2，故|2a－1|≥3，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立．[逆向问题]若|x－1＋a|＋|x－a|≥3，求a的取值范围．[解]∵|x－1＋a|＋|x－a|≥|2a－1|，∴|2a－1|≥3，∴2a－1≥3或2a－1≤－3，∴a≥2或a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．本例(2)的证明使用了放缩法，即先证明|x－1＋a|＋|x－a|≥|2a－1|，然后再证明|2a－1|≥3.已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)＜|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)＜1.[解](1)∵f(x)＜|x|＋1，∴|2x－1|＜|x|＋1，即x≥12，2x－1＜x＋1或0＜x＜12，1－2x＜x＋1或x≤0，1－2x＜－x＋1，得12≤x＜2或0＜x＜12或无解．故不等式f(x)＜|x|＋1的解集为{x|0＜x＜2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝56＜1.故不等式f(x)＜1得证．⊙考点3绝对值不等式的综合应用两招解不等式问题中的含参问题(1)问题转化①把存在性问题转化为求最值问题，即f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a.②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；-7-③不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|.(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；(2)若关于x的不等式f(x)＜m－f(x＋1)的解集不是空集，求m的取值范围．[解](1)f(x)－f(x＋1)≤1⇔|2x－1|－|2x＋1|≤1，则x≥12，2x－1－2x－1≤1或－12＜x＜12，1－2x－2x－1≤1或x≤－12，1－2x＋2x＋1≤1，解得x≥12或－14≤x＜12，即x≥－14，所以原不等式的解集为－14，＋∞.(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|＜m有解，则m＞(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈－12，12时等号成立，故m＞2.所以m的取值范围是(2，＋∞)．本例第(2)问中不等式f(x)＜m－f(x＋1)的解集不是空集，即不等式有解，是存在性问题，可转化为m＞[f(x)＋f(x＋1)]min.[教师备选例题](2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．[解](1)f(x)＝－3，x＜－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x＞2.-8-当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－|x|－322＋54≤54，且当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54，故m的取值范围为－∞，54.1.(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)＝|x－5|.(1)解不等式：f(x)＋f(x＋2)≤3；(2)若a＜0，求证：f(ax