（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第2讲 三角恒等变换与解三角

-1-第2讲三角恒等变换与解三角形利用三角恒等变换化简、求值[核心提炼]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.[典型例题](1)已知cosθ－π6＋sinθ＝435，则sinθ＋7π6的值是()A．45B．435C．－45D．－435(2)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4【解析】(1)因为cosθ－π6＋sinθ＝435，所以32cosθ＋32sinθ＝435，即312cosθ＋32sinθ＝435，即3sinθ＋π6＝435，所以sinθ＋π6＝45，-2-所以sinθ＋7π6＝－sinθ＋π6＝－45.故选C.(2)因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈π2，π，α∈π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈π，3π2，故β－α∈π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×－31010－55×1010＝22，且α＋β∈5π4，2π，故α＋β＝7π4.【答案】(1)C(2)A三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[对点训练]1．(2019·杭州市高三模拟)函数f(x)＝3sinx2cosx2＋4cos2x2(x∈R)的最大值等于()A．5B．92C．52D．2解析：选B.因为f(x)＝3sinx2cosx2＋4cos2x2＝32sinx＋2cosx＋2＝5235sinx＋45cosx＋2＝52sin(x＋φ)＋2，其中sinφ＝45，cosφ＝35，所以函数f(x)的最大值为92.2．(2019·浙江五校联考)已知3tanα2＋tan2α2＝1，sinβ＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝()-3-A.43B．－43C．－23D．－3解析：选B.因为sinβ＝3sin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，所以sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)·cosα＋3cos(α＋β)sinα，所以2sin(α＋β)cosα＝－4cos(α＋β)sinα，所以tan(α＋β)＝sin（α＋β）cos（α＋β）＝－4sinα2cosα＝－2tanα，又因为3tanα2＋tan2α2＝1，所以3tanα2＝1－tan2α2，所以tanα＝2tanα21－tan2α2＝23，所以tan(α＋β)＝－2tanα＝－43.3．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝12，则sin2x＝________，1＋tanxsinxcosx－π4＝________．解析：sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sinx－cosx＝12，即sinx＋cosx＝－12，两边平方得：sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝14，即1＋sin2x＝14，则sin2x＝－34，由1＋tanxsinxcosx－π4＝1＋sinxcosx22sinx（cosx＋sinx）＝2sinxcosx＝22sin2x＝22－34＝－823.答案：－34－823-4-利用正、余弦定理解三角形[核心提炼]1．正弦定理及其变形在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝a2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.3．三角形面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________．(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.①证明：A＝2B；②若cosB＝23，求cosC的值．【解】(1)因为a＝7，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sinB＝bsinAa＝2×327＝217.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA可得c2－2c－3＝0，所以c＝3.故填：2173.(2)①证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.②由cosB＝23得sinB＝53，-5-cos2B＝2cos2B－1＝－19，故cosA＝－19，sinA＝459，cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝2227.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应利用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应利用余弦定理．[对点训练]1．(2019·高考浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．解析：在Rt△ABC中，易得AC＝5，sinC＝ABAC＝45.在△BCD中，由正弦定理得BD＝BCsin∠BDC×sin∠BCD＝322×45＝1225，sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCDcos∠BDC＋cos∠BCDsin∠BDC＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD＋∠DBC＝π2，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝7210.答案：122572102．(2019·义乌高三月考)在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足cbcosA－a2＝b2－a2.(1)求角B的大小；(2)若BD为AC边上的中线，cosA＝17，BD＝1292，求△ABC的面积．解：(1)因为cbcosA－a2＝b2－a2，即2bccosA－ac＝2(b2－a2)，所以b2＋c2－a2－ac＝2(b2－a2)，所以a2＋c2－b2＝ac，cosB＝12，B＝π3.-6-(2)法一：在三角形ABD中，由余弦定理得12922＝c2＋b22－2c·b2cosA，所以1294＝c2＋b24－17bc，①在三角形ABC中，由已知得sinA＝437，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5314，由正弦定理得c＝57b.②由①，②解得b＝7，c＝5.所以S△ABC＝12bcsinA＝103.法二：延长BD到E，DE＝BD，连接AE，在△ABE中，∠BAE＝2π3，BE2＝AB2＋AE2－2·AB·AE·cos∠BAE，因为AE＝BC，129＝c2＋a2＋a·c，①由已知得，sin∠BAC＝437，所以sinC＝sin(A＋B)＝5314，ca＝sin∠ACBsin∠BAC＝58.②由①②解得c＝5，a＝8，S△ABC＝12c·a·sin∠ABC＝103.解三角形中的最值(范围)问题[典型例题](1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2ccosB＝2a－b.①求角C的大小；-7-②若CA→－12CB→＝2，求△ABC面积的最大值．(2)(2019·杭州市高考数学二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msinA＝sinB＋sinC(m∈R)．①当m＝3时，求cosA的最小值；②当A＝π3时，求m的取值范围．【解】(1)①因为2ccosB＝2a－b，所以2sinCcosB＝2sinA－sinB＝2sin(B＋C)－sinB，化简得sinB＝2sinBcosC，因为sinB≠0，所以cosC＝12.因为0＜C＜π，所以C＝π3.②取BC的中点D，则CA→－12CB→＝|DA→|＝2.在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcosC，即有4＝b2＋a22－ab2≥2a2b24－ab2＝ab2，所以ab≤8，当且仅当a＝4，b＝2时取等号．所以S△ABC＝12absinC＝34ab≤23，所以△ABC面积的最大值为23.(2)①因为在△ABC中msinA＝sinB＋sinC，当m＝3时，3sinA＝sinB＋sinC，由正弦定理可得3a＝b＋c，再由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－19（b＋c）22bc＝89（b2＋c2）－29bc2bc≥89·2bc－29bc2bc＝79，当且仅当b＝c时取等号，故cosA的最小值为79.-8-②当A＝π3时，可得32m＝sinB＋sinC，故m＝233sinB＋233sinC＝233sinB＋233sin2π3－B＝233sinB＋23332cosB＋12sinB＝233sinB＋cosB＋33sinB＝3sinB＋cosB＝2sinB＋π6，因为B∈0，2π3，所以B＋π6∈π6，56π，所以sinB＋π6∈12，1，所以2sinB＋π6∈(1，2]，所以m的取值范围为(1，2]．(1)求最值的一般思路由余弦定理中含两边和的平方(如a2＋b2－2abcosC＝c2)且a2＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝12absinC型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性．(2)求三角形中范围问题的常见类型①求三角形某边的取值范围．②求三角形一个内角的取值范围，或者一个内角的正弦、余弦的取值范围．③求与已知有关的参数的范围或最值．[对点训练]1．在△ABC中，AC→·AB→＝|AC→－AB→|＝3，则△ABC面积的最大值为()A.21B.3214C.212D．321-9-解析：选B.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为AC→·AB→＝|AC→－AB→|＝3，所以bccosA＝a＝3.又cosA＝b2＋c2－a22bc≥1－92bc＝1－3cosA2，所以cosA≥25，所以0sinA≤215，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝32tanA≤32×212＝3214，故△ABC面积的最大值为3214.2．(2019·浙江“七彩阳光”联盟联考)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足S△ABC＝14a2，则cb的最大值为()A.2－1B.2C.2＋1D