2021高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第5节 椭圆 第2课时 直线与椭圆教学案 理 北师大

1第2课时直线与椭圆考点1直线与椭圆的位置关系研究直线与椭圆位置关系的方法直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，①Δ＞0⇔直线与椭圆相交．②Δ＝0⇔直线与椭圆相切．③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．1.若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m＞1B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5D[∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，∴要使直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，只需025＋12m≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D.]2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同2的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－32或m＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数；(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．考点2弦长及中点弦问题中点弦问题处理中点弦问题常用的求解方法根与系数的关系即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解点差法即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，y1－y2x1－x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(1)过椭圆x216＋y24＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是()A．4x＋3y－13＝0B．3x＋4y－13＝0C．4x－3y＋5＝0D．3x－4y＋5＝0(2)[一题多解](2019·惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．(1)B(2)x28＋y212＝1[(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意得x2116＋y214＝1，①x2216＋y224＝1，②①－②得x1＋x2x1－x216＋y1＋y2y1－y24＝0，又P(3,1)是AB的中点．∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，3∴kAB＝y2－y1x2－x1＝－34.故直线AB的方程为y－1＝－34(x－3)，即3x＋4y－13＝0，故选B.(2)法一：(直接法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆方程为y2b2＋4＋x2b2＝1(b0)，由y2b2＋4＋x2b2＝1，y＝3x＋7消去x，得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＋y22＝1，∴y1＋y2＝14b2＋410b2＋4＝2，解得b2＝8.∴所求椭圆方程为x28＋y212＝1.法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆的方程为y2b2＋4＋x2b2＝1(b0)．设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21b2＋4＋x21b2＝1，①y22b2＋4＋x22b2＝1，②①－②得y1－y2y1＋y2b2＋4＋x1－x2x1＋x2b2＝0，即y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝－b2＋4b2，又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，k＝y1－y2x1－x2＝3，代入上式得3×2×12×－2＝－b2＋4b2，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为x28＋y212＝1.]“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆4锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，y1－y2x1－x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM＝－b2a2，即kAB＝－b2x0a2y0比较方便快捷，其中点M的坐标为(x0，y0)．[教师备选例题]已知椭圆x22＋y2＝1.(1)若过A(2,1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P12，12且被P点平分的弦所在直线的方程．[解](1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点为M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：x212＋y21＝1，①x222＋y22＝1，②①－②得y2－y1x2－x1＝－x2＋x12y2＋y1＝－x2y，所以－x2y＝y－1x－2，化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆x22＋y2＝1内部的部分)．(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－x2y＝－12，因此所求直线方程是y－12＝－12x－12，化简得2x＋4y－3＝0.1.(2019·江西五市联考)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a0，b0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－32，则ab的值为()A．－32B．－233C．－932D．－2327A[由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，5则有ax21＋by21＝0，①ax22＋by22＝0，②由①－②得a(x21－x22)＝－b(y21－y22)，整理得y1＋y2x1＋x2·y1－y2x1－x2＝－ab，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝y0x0＝2y02x0＝y1＋y2x1＋x2＝－32，又知kAB＝－1，∴－32×(－1)＝－ab，∴ab＝－32，故选A.]2.已知椭圆x22＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，点A和点B关于直线l对称，l与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是________．－12，0[设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入x22＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.因为直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，所以方程有两个不等实根．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝－4k22k2＋1，x0＝12(x1＋x2)＝－2k22k2＋1，y0＝k(x0＋1)＝k2k2＋1，因为点A和点B关于直线l对称，所以直线l为AB的垂直平分线，其方程为y－y0＝－1k(x－x0)．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－2k22k2＋1＋k22k2＋1＝－k22k2＋1＝－12＋14k2＋2，因为k≠0，所以－12xG0，即点G横坐标的取值范围为－12，0.]弦长问题6求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2](k为直线斜率)．(2019·武汉模拟)设离心率为22的椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为2－1.(1)求E的方程；(2)矩形ABCD的两顶点C，D在直线y＝x＋2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为1123，求直线AB的方程．[解](1)Rt△PF1F2内切圆的半径r＝12(|PF1|＋|PF2|－|F1F2|)＝a－c，依题意有a－c＝2－1.又ca＝22，则a＝2，c＝1，从而b＝1.故椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(2)设直线AB的方程为y＝x＋m，代入椭圆E的方程，整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由Δ0得－3m3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4m3，x1x2＝2m2－23.|AB|＝2|x2－x1|＝43－m23.易知|BC|＝|2－m|2，则由－3m3知|BC|＝2－m2，所以由已知可得|AB|＋|BC|＝1126，即43－m23＋2－m2＝1126，整理得41m2＋30m－71＝0，解得m＝1或m＝－7141(均满足－3m3)．7所以直线AB的方程为y＝x＋1或y＝x－7141.利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[教师备选例题]已知椭圆E：x2t＋y23＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．[解](1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t＝4时，椭圆E的方程为x24＋y23＝1，A(－2,0)．由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入x24＋y23＝1，得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝127，所以y1＝127.所以S△AMN＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意知t3，k0，A(－t，0)，设M(x1，y1)，将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入x2t＋y23＝1，得(3＋tk2)x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－t)＝t2k2－3t3＋tk2，得x1＝t3－tk23＋tk2，故|AM|＝|x1＋t|1＋k2＝6t1＋k23＋tk2.由题设知，直线AN的方程为y＝－1k(x＋t)，8故同理可得|AN|＝6kt1＋k23k2＋t.由2|AM|＝|AN|，得23＋tk2＝k3k2＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1)，当k＝32时上式不成立，因此t＝3k2k－1k3－2.t3等价于k3－2k2＋k－2k3－2＝k－2k2＋1k3－20，即k－2k3－20.由此得k－20，k3－20或k－20，k3－20，解得32k2.因此k的取值范围是(32，2)．1.斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B．455C．4105D．8105C[设直线l的方程为y＝x＋t，代入x24＋y2＝1，消去y得54x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)0即t25，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8t5，x1x2＝4t2－15，|AB|＝1＋1[x1＋x22－4x1x2]＝4255－t2≤4105(当且仅当t＝0时取等号)．]2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝487，求直线AB的方程．9[解](1)由题意知e＝ca＝12，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，c＝1，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率