2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题一 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质课时作业

-1-第1讲函数的图象与性质限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·湖北部分重点中学起点考试)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)ln1－x1＋x－1，若f(a)＝1，则f(－a)＝()A．1B．－1C．3D．－3解析：D[解法一由题意，f(a)＋f(－a)＝(ea＋e－a)ln1－a1＋a－1＋(ea＋e－a)ln1＋a1－a－1＝(ea＋e－a)ln1－a1＋a＋ln1＋a1－a－2＝－2，所以f(－a)＝－2－f(a)＝－3，故选D.解法二令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln1－x1＋x，则g(－x)＝(e－x＋ex)ln1＋x1－x＝－(ex＋e－x)ln1－x1＋x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故选D.]2．(2020·唐山摸底)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)()A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：A[通解由已知可知，f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x＞0时，ex＞e－x，所以x(ex－e－x)＞0，又ex＋e－x＞0，所以f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.优解根据题意知f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又f(1)＜f(2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.]3．(2019·合肥调研)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝log2x＋，x≥0，gx，x＜0，则g(f(－7))＝()A．3B．－3C．2D．－2-2-解析：D[函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝log2x＋，x≥0，gx，x＜0，设x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝log2(－x＋1)，因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋1)，所以g(x)＝－log2(－x＋1)(x＜0)，所以f(－7)＝g(－7)＝－log2(7＋1)＝－3，所以g(－3)＝－log2(3＋1)＝－2.]4．(2020·大连模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x2＜0.①f(x)＝sinx；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(x2＋1＋x)．以上四个函数中，“优美函数”的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：B[由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．对于①，f(x)＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]5．(2020·辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝(－x＋a＋1)log2(x＋2)＋x＋m，其中a，m是常数，且a＞0.若f(0)＋f(a)＝1，则f(m－3)＝()A．1B．－1C．6D．－6解析：C[由题意知f(0)＝a＋1＋m＝0，所以a＋m＝－1，又f(a)＝log2(a＋2)＋a＋m，f(0)＋f(a)＝1，所以log2(a＋2)＝2，解得a＝2，所以m＝－3.于是，当x≥0时，f(x)＝(3－x)log2(x＋2)＋x－3.故f(m－3)＝f(－6)＝－f(6)＝－(－3log28＋3)＝6.故选C.]6．(组合型选择题)函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象分别如图(1)(2)所示：-3-给出下列四个命题：①方程f(g(x))＝0有且仅有6个根；②方程g(f(x))＝0有且仅有3个根；③方程f(f(x))＝0有且仅有5个根；④方程g(f(g))＝0有且仅有4个根；其中正确命题的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：B[由图象可得－2≤g(x)≤2，－2≤f(x)≤2.对于①，观察f(x)的图象，可知满足方程f(g(x))＝0的g(x)有三个不同的值，一个值在－2或－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．再观察g(x)的图象，由图象知，g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)＝0时对应了2个x值，g(x)的值在1与2之间时对应了2个x值，故方程f(g(x))＝0有且仅有6个根，故①正确．对于②，观察g(x)的图象，可知满足g(f(x))＝0的f(x)有两个不同的值，一个值处于－2与－1之间，另一个值处于0与1之间．观察f(x)的图象，知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)的值在0与1之间时对应了3个x值，所以方程g(f(x))＝0有且仅有4个根，故②不正确．对于③，观察f(x)的图象，可知满足方程f(f(x))＝0的f(x)有3个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．再观察f(x)的图象，由图象知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)＝0时对应了3个x值，f(x)的值在1与2之间时对应了1个x值，故方程f(f(x))＝0有且仅有5个根，故③正确．对于④，观察g(x)的图象，可知满足方程g(g(x))＝0的g(x)有2个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值在0与1之间．再观察g(x)的图象，由图象可知g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)的值在0与1之间时对应了2个x值，故方程g(g(x))＝0有且仅有4个根，故④正确．综上所述，正确命题的个数是3.故选B.]-4-7．(2019·广州二模)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2022)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4解析：C[依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.]8．(2019·苏州调研)函数y＝sin2x1－cosx的部分图象大致为()解析：C[令f(x)＝sin2x1－cosx，∵f(1)＝sin21－cos1＞0，f(π)＝sin2π1－cosπ＝0，∴排除选项A，D.由1－cosx≠0得x≠2kπ(k∈Z)，故函数f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(－x)＝－2x1－－x＝－sin2x1－cosx＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.]9．已知函数f(x)＝x－4＋9x＋1，x∈(0,4)．当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝1a|x＋b|的图象为()-5-解析：B[因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，所以f(x)＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋9x＋1－5＝1，当且仅当x＝2时取等号，且f(x)的最小值为1，所以a＝2，b＝1，所以g(x)＝12|x＋1|，其图象关于直线x＝－1对称，又g(x)＝12|x＋1|≤120＝1，所以B.]10．(2020·河北衡水中学模拟)已知函数f(x)＝22019x＋1＋sinx，其中f′(x)为函数f(x)的导数，则f(2018)＋f(－2018)＋f′(2019)－f′(－2019)等于()A．2B．2019C．2018D．0解析：A[由题意得f(x)＋f(－x)＝2，∴f(2018)＋f(－2018)＝2，由f(x)＋f(－x)＝2可得f(x)－1＋f(－x)－1＝0，∴y＝f(x)－1为奇函数，∴y＝f(x)－1的导函数为偶函数，即y＝f′(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，∴f′(2019)－f′(－2019)＝0，∴f(2018)＋f(－2018)＋f′(2019)－f′(－2019)＝2.故选A.]11．(2019·定州二模)已知a＞0，设函数f(x)＝2019x＋1＋20172019x＋1(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝()A．2017B．2019C．4040D．4036解析：D[由题意得f(x)＝2019x＋1＋20172019x＋1＝2019－22019x＋1.因为y＝2019x＋1在[－a，a]上是单调递增的，所以f(x)＝2019－22019x＋1在[－a，a]上是单调递增的，所以M＝f(a)，N＝f(－a)，所以M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4038－22019a＋1－22019－a＋1＝4036.]12．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝2xx－1，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数-6-C．函数f(x)的图象上存在不同的两点A、B，使得直线AB∥x轴D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称解析：A[因为f(x)＝2xx－1＝x－＋2x－1＝2x－1＋2，所以该函数图象可以由y＝2x的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图象是由y＝2x的图象平移得到的，所以不存在不同的两点A、B，使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2020·安徽江淮十校联考)函数f(x)＝log13(x2＋2)＋13|x|＋1，若f(2x＋1)≥f(x)，则实数x的取值范围是____________．解析：易知f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴|2x＋1|≤|x|，解得－1≤x≤－13，∴x∈－1，－13.答案：－1，－1314．(2019·北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝____________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是____________．解析：若函数f(x)＝ex＋ae－x为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)恒成立，即(a＋1)(ex＋e－x)＝0恒成立，欲(a＋1)(ex＋e－x)＝0对任意的x恒成立．需a＋1＝0，即a＝－1时，所以a＝－1.若函数f(x)＝ex＋ae－x是R上的增函数，则f′(x)＝ex－ae－x≥0恒成立，a≤e2x，a≤0.即实数a的取值范围是(－∞，0]．答案：－1(－∞，0]15．(2020·湖北省八校联考)已知函数f(x)＝x2＋alnx＋b，x＞0，ex＋12，x≤0，若f(e2)＝f(1)，f(e)＝43f(0)，则函数f(x)的值域为________________．解析：由题意可得4＋2a＋b＝b，1＋a＋b＝2，解得a＝－2，b＝3，∴当x＞0时，f(x)＝(lnx)2－2lnx＋3＝(lnx－1)2＋2≥2；当x≤0时，12＜ex＋12≤e0＋12＝32，则函数f(x)的值域为12，32∪[2，＋∞)．-7-答案：12，32∪[2，＋∞)16．(2020·辽宁五校联考)如果定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1≠x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)≥x1f(x2)＋x2f(x1)，则称f(x)为“H函数”，给出下列函数：①y＝－x3＋x＋1；