2021高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第8节 圆锥曲线中的范围、最值问题教学案 文 北师大

-1-第八节圆锥曲线中的范围、最值问题(对应学生用书第165页)⊙考点1范围问题圆锥曲线中范围问题的五个解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．(2019·大连模拟)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，离心率为12，点F1为圆M：x2＋y2＋2x－15＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过点F2且与直线l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围．[解](1)由题意知ca＝12，则a＝2c.圆M的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而椭圆的左焦点为F1(－1,0)，即c＝1.所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b＝3.所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)可知椭圆右焦点F2(1,0)．①当直线l与x轴垂直时，此时斜率k不存在，直线l：x＝1，直线l1：y＝0，可得|AB|＝3，|CD|＝8，四边形ACBD的面积为12.②当直线l与x轴平行时，此时斜率k＝0，直线l：y＝0，直线l1：x＝1，可得|AB|＝4，|CD|＝43，四边形ACBD的面积为83.③当直线l与x轴不垂直也不平行时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，-2-B(x2，y2)．联立y＝kx－1，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.显然Δ＞0，且x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3.所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋3.过点F2(1,0)且与直线l垂直的直线l1：y＝－1k(x－1)，则圆心到直线l1的距离为2k2＋1，所以|CD|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形ACBD的面积S＝12|AB||CD|＝121＋14k2＋3.可得当直线l与x轴不垂直时，四边形ACBD面积的取值范围为(12,83)．综上，四边形ACBD面积的取值范围为[12,83]．过点F2的直线l与l1，有斜率不存在的情况，应分类求解．[教师备选例题](2019·石家庄模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|＝2x0.(1)求抛物线C的方程；(2)过点P引圆M：(x－3)2＋y2＝r2(0＜r≤2)的两条切线PA，PB，切线PA，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围．[解](1)由抛物线定义，得|PF|＝x0＋p2，由题意得，2x0＝x0＋p2，2px0＝4，p＞0，解得p＝2，x0＝1.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由题意知，过P引圆(x－3)2＋y2＝r2(0＜r≤2)的切线斜率存在且不为0，设切线PA的方程为y＝k1(x－1)＋2，则圆心M(3,0)到切线PA的距离d＝|2k1＋2|k21＋1＝r，整理得，(r2－4)k21－8k1＋r2－4＝0.设切线PB的方程为y＝k2(x－1)＋2，同理可得(r2－4)k22－8k2＋r2－4＝0.所以k1，k2是方程(r2－4)k2－8k＋r2－4＝0的两根，k1＋k2＝8r2－4，k1k2＝1.-3-设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝k1x－＋2，y2＝4x得，k1y2－4y－4k1＋8＝0，由根与系数的关系知，2y1＝8－4k1k1，所以y1＝4－2k1k1＝4k1－2＝4k2－2，同理可得y2＝4k1－2.(8分)t＝x1＋x22＝y21＋y228＝k2－2＋k1－28＝2(k21＋k22)－2(k1＋k2)＋1＝2(k1＋k2)2－2(k1＋k2)－3，设λ＝k1＋k2，则λ＝8r2－4∈[－4，－2)，所以t＝2λ2－2λ－3，其图像的对称轴为λ＝12＞－2，所以9＜t≤37.(2019·郑州模拟)已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．[解](1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，联立b＝1，ca＝32，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3.故椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)为弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立y＝kx＋m，x24＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－14k2＋1.Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，所以m2＜1＋4k2.①所以x0＝x1＋x22＝－4km4k2＋1，y0＝kx0＋m＝m4k2＋1.所以kAP＝y0＋1x0＝－m＋1＋4k24km.-4-又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，则－m＋1＋4k24km＝－1k，即3m＝4k2＋1.②把②代入①得m2＜3m，解得0＜m＜3.由②得k2＝3m－14＞0，解得m＞13.综上可知，m的取值范围为13，3.⊙考点2最值问题求解圆锥曲线中最值问题的两种方法(1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，再求这个函数的最值，最值通常用基本不等式法、配方法、导数法求解．利用基本不等式求最值已知抛物线E：y2＝2px(0＜p＜10)的焦点为F，点M(t,8)在抛物线E上，且|FM|＝10.(1)求抛物线E的方程；(2)过点F作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B，C，D，P、Q分别为弦AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．[解](1)抛物线E的准线方程为x＝－p2.由抛物线的定义可得|FM|＝t＋p2＝10，故t＝10－p2.由点M在抛物线上，可得82＝2p10－p2，整理得p2－20p＋64＝0，解得p＝4或p＝16，又0＜p＜10，所以p＝4.故抛物线E的方程为y2＝8x.(2)由(1)知抛物线E的方程为y2＝8x，焦点为F(2,0)，由已知可得AB⊥CD，所以两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0.设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为－1k，故直线AB的方程为y＝k(x－2)．联立方程组y2＝8xy＝kx－2，消去x，整理得ky2－8y－16k＝0.-5-设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8k，因为P(xP，yP)为弦AB的中点，所以yP＝12(y1＋y2)＝4k，由yP＝k(xP－2)得xP＝yPk＋2＝4k2＋2，故P4k2＋2，4k.同理可得Q(4k2＋2，－4k)．故|QF|＝4k2＋2－22＋－4k2＝16k4＋16k2＝4k21＋k2，|PF|＝16k4＋16k2＝41＋k2k2.因为PF⊥QF，所以△FPQ的面积S＝12|PF|·|QF|＝12×41＋k2k2×4k21＋k2＝8×1＋k2|k|＝8|k|＋1|k|≥8×2|k|·1|k|＝16，当且仅当|k|＝1|k|，即k＝±1时，等号成立．所以△FPQ的面积的最小值为16.求点Q的坐标时，可根据直线AB与CD的斜率关系，把点P坐标中的k换成－1k，即可得到点Q的坐标．[教师备选例题]已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．[解](1)设F(c,0)，由条件知，2c＝233，得c＝3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为x24＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.-6-当Δ＝16(4k2－3)0，即k234时，x1,2＝8k±24k2－34k2＋1.从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1，所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝44k2－34k2＋1.设4k2－3＝t，则t0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，且满足Δ0.所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.利用二次函数求最值(2019·合肥模拟)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．[解](1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，联立x－y＋1＝0，y2＝2px，消去x得y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍)．∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立ty＝x－1，y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ＞0，∴y1＋y2＝4t，即x1＋x2＝4t2＋2，∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，-7-则dA＋dB＝2d＝2·|2t2－2t＋2|2＝22|t2－t＋1|＝22t－122＋34，∴当t＝12时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为322.本例第(2)问的关键是根据梯形中位线定理得到dA＋dB＝2d.[教师备选例题](2019·齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C不同于R(1,2)的D，E两点，若直线DR，ER分别交直线l：y＝2x＋2于M，N两点，求|MN|取最小值时直线DE的方程．[解](1)由题意知，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，Fp2，0，直线AB的方程为x＝y＋p2，联立y2＝2px，x＝y＋p2，得y2－2py－p2＝0，解得y＝(1±2)p.则|AB|＝xA－xB2＋yA－yB2＝2yA－yB2＝4p＝8，∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设D(x1，y1)，E(x2，y2)，由题意知，直线DE的斜率存在且不为0.设直线DE的方程为x＝m(y－1)＋1(m≠0)，联立y2＝4x，x＝my－1＋1，消去x得y2－4my＋4(m－1)＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4(m－1)．∴|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2＝4m2－m＋1.设直线DR的方程为y＝k1(x－1)＋2，联立y＝k1x－1＋2，y＝2x＋2，解得xM＝k1k1－2.又k1＝y1－2x1－1＝y1－2y214－1＝4y1＋2，-8-∴xM＝4y1＋24y1＋2－2＝－2y1.同理得xN＝－2y2.∴|MN|＝5|xM－xN|＝52y2－2y1＝25·y2－y