2021高考数学一轮复习 第11章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5节 离散型随机变量及其分布

1第五节离散型随机变量及其分布列[最新考纲]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．1．离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．(3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，ai，…，ar，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…，r)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)，或把上式列表：X＝aia1a2…ai…arP(X＝ai)p1p2…pi…pr称为离散型随机变量X的分布列．(4)性质：①pi≥0，i＝1,2，…，r；②p1＋p2＋…＋pr＝1.2．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．()X25P0.30.7(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()2[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材改编1．设随机变量X的分布列如下：X12345P112161316p则p为()A．16B．13C．14D．112C[由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.]2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于()A．15B．25C．35D．45D[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－C14C22C36＝45.]3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．0,1,2,3[因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.]4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为________．X012P0.10.60.3[因为X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝C22C25＝0.1，P(X＝1)＝C13·C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C23C25＝0.3，所以X的分布列为X012P0.10.60.3]3考点1离散型随机变量的分布列的性质分布列性质的2个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．1.随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．23－13，13[因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.]2．设随机变量X的分布列为PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求a；(2)求PX≥35；(3)求P110＜X≤710.[解](1)由分布列的性质，得PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝115.(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.(3)P110＜X≤710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝615＝25.由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．[教师备选例题]设离散型随机变量X的分布列为4X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．[解](1)由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579从而Y＝2X＋1的分布列为Y13579P0.20.10.10.30.3(2)列表为X01234|X－1|10123∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为η0123P0.10.30.30.3(3)首先列表为X01234X2014916从而ξ＝X2的分布列为ξ014916P0.20.10.10.30.3考点2求离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．5(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．[解](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X的分布列为X200300400P11031035求解本题的关键是明确题设限制条件：“不放回”、“直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束”．[教师备选例题]一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．[解](1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－C45C47＝1－535＝67.(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且6P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.所以随机变量X的分布列是X1234P1354352747袋子中有1个白球和2个红球．(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列．[解](1)X可能取值1,2,3.P(X＝1)＝1A13＝13，P(X＝2)＝A12×1A23＝13，P(X＝3)＝A22A33＝13.所以X分布列为X123P131313(2)X可能取值为1,2,3,4,5.P(X＝k)＝23k－1×13，k＝1,2,3,4，P(X＝5)＝234.故X分布列为X12345P13294278811681(3)因为X～B5，13，所以X的分布列为P(X＝k)＝Ck513k235－k，k＝0,1,2,3,4,5.X012345P2355×243510×233510×22355×235135考点3超几何分布7求超几何分布的分布列的步骤第一步验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值第二步根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率第三步用表格的形式列出分布列端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．[解](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为X123P715715115[母题探究]1．在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率．[解]由题意知，至少有一个豆沙粽的概率P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝715＋115＝815.2．若本例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列．[解]由题意知X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C33＋C35C310＝1＋10120＝11120，P(X＝3)＝C12C13C15C310＝30120＝14，P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－11120－30120＝79120.8综上可知，X的分布列为X123P111207912014超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．[教师备选例题](2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解】(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k3C37(k＝0,1,2,3)．则P(X＝0)＝C33C37＝135，P(X＝1)＝C23C14C37＝1235，P(X＝3)＝C34C37＝435，则P(X＝2)＝1－135－1235－435＝1835，所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B＋C，且B与C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B＋C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝67.所以，事件A发生的概率为67.9在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．[解](1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一