2021高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第5节 三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正

1第五节三角恒等变换[最新考纲]1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.[常用结论]1．公式的常用变式tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α；cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α.2．降幂公式sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2；sinαcosα＝12sin2α.23．升幂公式1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2；1＋sinα＝sinα2＋cosα22；1－sinα＝sinα2－cosα22.4．半角正切公式tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()(3)cosθ＝2cos2θ2－1＝1－2sin2θ2.()(4)当α是第一象限角时，sinα2＝1－cosα2.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×二、教材改编1．已知cosα＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为()A.210B．－210C.7210D．－7210A[∵cosα＝－35，α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－45.∴cosπ4＋α＝22(cosα－sinα)＝22－35＋45＝210.故选A.]32．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝________.22[sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.]3．计算：sin108°cos42°－cos72°·sin42°＝________.12[原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.]4．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.3[∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3.]5．若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则tanβ＝________.17[tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tanα1＋tanα＋βtanα＝12－131＋12×13＝17.]第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式考点1公式的直接应用(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()4A.15B.55C.33D.255B[由二倍角公式可知4sinαcosα＝2cos2α.∵α∈0，π2，∴cosα≠0，∴2sinα＝cosα，∴tanα＝12，∴sinα＝55.故选B.]2．已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－211B．211C．112D．－112A[∵α∈π2，π，∴tanα＝－34，又tanβ＝－12，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝－34＋121＋－12×－34＝－211.]3．(2019·太原模拟)若α∈0，π2，且sinα－π6＝13，则cosα－π3＝________.26＋16[由于角α为锐角，且sinα－π6＝13，则cosα－π6＝223，则cosα－π3＝cosα－π6－π6＝cosα－π6cosπ6＋sinα－π6sinπ6＝223×32＋13×12＝26＋16.]4．计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为________．12[sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°5＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．考点2公式的逆用与变形用公式的一些常用变形(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；(3)1±sinα＝sinα2±cosα22；(4)sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1；(5)cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α；(6)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(7)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)tanφ＝ba.公式的逆用(1)化简sin10°1－3tan10°＝________.(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC＝________.(1)14(2)22[(1)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°412cos10°－32sin10°＝sin20°4sin30°－10°＝14.(2)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.](1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系．6(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)重视sinαcosβ，cosαsinβ，cosαcosβ，sinαsinβ的整体应用．公式的变形用(1)化简sin235°－12cos10°cos80°＝________.(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是________．(1)－1(2)12[(1)sin235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.(2)原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cosπ3－sin2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.]注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．1.设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝22(sin56°－cos56°)，c＝1－tan239°1＋tan239°，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞bD[由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°，b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝1－tan239°1＋tan239°7＝1－sin239°cos239°1＋sin239°cos239°＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈0，π2为增函数，所以sin13°＞sin12°＞sin11°，所以a＞c＞b.]2.3cos15°－4sin215°cos15°＝()A.12B.22C.1D.2D[法一：3cos15°－4sin215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝3cos15°－2sin15°·sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝2.故选D.法二：因为cos15°＝6＋24，sin15°＝6－24，所以3cos15°－4sin215°·cos15°＝3×6＋24－4×6－242×6＋24＝6＋24×(3－2＋3)＝6＋24×(23－2)＝2.故选D.]3．已知α＋β＝π4，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.2[(1＋tanα)(1＋tanβ)＝tanα＋tanβ＋tanαtanβ＋1＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＋1＝1－tanαtanβ＋tanαtanβ＋1＝2.]4．已知sinαcosβ＝12，则cosαsinβ的取值范围________．－12，12[由题知sinαcosβ＝12，①设cosαsinβ＝t，②①＋②得sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋t，即sin(α＋β)＝12＋t，①－②得sinαcosβ－cosαsinβ＝12－t，即sin(α－β)＝12－t.8∵－1≤sin(α±β)≤1，∴－1≤12＋t≤1，－1≤12－t≤1.∴－12≤t≤12.]考点3公式的灵活运用三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，π4＋α＋π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式