2021高考数学一轮复习 第6章 数列 第2节 等差数列及其前n项和教学案 理 北师大版

1第二节等差数列及其前n项和[最新考纲]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N＋)，d为常数．(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝a＋b2.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋an2.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝d2n2＋a1－d2n是关于n的二次函数．4．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值．[常用结论]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N＋)也是等差数列，公差为m2d.(5)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.2(6)若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的12.(7)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.(8)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②S奇S偶＝n＋1n.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×二、教材改编1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于()A．14B．12C．2D．－12A[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，又a10＝6，∴公差d＝a10－a610－6＝6－54＝14.故选A.]2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A．31B．32C．33D．34B[设数列{an}的公差为d，法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6，又a6＝2，3∴S8＝8a1＋a82＝8a3＋a62＝86＋22＝32.法二：由a1＋5d＝2，5a1＋5×42d＝30，得a1＝263，d＝－43.∴S8＝8a1＋8×72d＝8×263－28×43＝32.]3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．487[依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.]4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．820[设第n排的座位数为an(n∈N＋)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20a1＋a202＝20×22＋602＝820.]考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．1.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2nA[由题知，S4＝4a1＋d2×4×3＝0，a5＝a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2，∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选A.]42．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于()A．－12B．－10C．10D．12B[设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得33a1＋3×3－12×d＝2a1＋2×2－12×d＋4a1＋4×4－12×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]3．(2019·黄山三模)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝()A．23B．32C．35D．38C[由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a1＋9×82×(－3)＝207，解得a1＝35，故选C.]确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.考点2等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，因为Sn≠0，所以1Sn－1Sn－1＝2，5又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得1Sn＝2n，所以Sn＝12n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12n－1＝n－1－n2nn－1＝－12nn－1.当n＝1时，a1＝12不适合上式．故an＝12，n＝1，－12nn－1，n≥2.证明1Sn成等差数列的关键是1Sn－1Sn－1为与n无关的常数，同时注意求数列{an}的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n＝1的情形．[教师备选例题]数列{an}满足an＋1＝an2an＋1，a1＝1.(1)证明：数列1an是等差数列；(2)求数列1an的前n项和Sn，并证明1S1＋1S2＋…＋1Sn＞nn＋1.[解](1)证明：∵an＋1＝an2an＋1，∴1an＋1＝2an＋1an，化简得1an＋1＝2＋1an，即1an＋1－1an＝2，故数列1an是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1an＝2n－1，所以Sn＝n1＋2n－12＝n2，1Sn＝1n2＞1nn＋1＝1n－1n＋1.证明：1S1＋1S2＋…＋1Sn＝112＋122＋…＋1n2＞11×2＋12×3＋…＋1nn＋16＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.故1S1＋1S2＋…＋1Sn＞nn＋1.1.已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．[解](1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得nan＋1－n＋1annn＋1＝2，即an＋1n＋1－ann＝2，所以数列ann是首项a11＝1，公差d＝2的等差数列．则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，7因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．考点3等差数列的性质及应用等差数列中常用的解题性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.(3)在Sn＝na1＋an2中常用性质或等差中的项解题．(1)正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＋a9－a26＋15＝0，则S11＝()A．35B．36C．45D．55(2)(2019·锦州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A．35B．42C．49D．63(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，S20192019－S20132013＝6，则S2020＝________.(1)D(2)B(3)2020[(1)因为{an}为正项等差数列，故a3＋a9＝2a6，所以a26－2a6－15＝0，解得a6＝5或者a6＝－3(舍)，所以S11＝11a6＝11×5＝55，故选D.(2)在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7,14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(3)由等差数列的性质可得Snn也为等差数列．设其公差为d，则S20192019－S20132013＝6d＝6，∴d＝1.故S20202020＝S11＋2019d＝－2018＋2019＝1，∴S2020＝1×2020＝2020.]以数列项或和的下角标为突破口，结合等差数列的性质灵活解答．[教师备选例题](1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0B．378C．100D．－37(2)(2019·商洛模拟)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则