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1第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[最新考纲]1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp[常用结论]1．在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔AB；p是q的必要不充分条件⇔AB；p是q的充要条件⇔A＝B.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)2(1)“x2＋2x－30”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2＞0,则x＞1”的逆否命题A[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．]2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”C[根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.]3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]4．命题“若α＝π3，则sinα＝32”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)假假[若α＝π3，则sinα＝32的逆命题为“若sinα＝32，则α＝π3”是假命题；否命题为“若α≠π3，则sinα≠32”是假命题．]考点1命题及其关系判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命3题，只需举出一个反例即可．(2)间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．1.下列命题是真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2[答案]A2．下列命题中的真命题是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x＝3，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④B[①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，为假命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题，故其逆否命题也是真命题；④“若x＝3，则x是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题．故选B.]3．已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的有________．(填序号)①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．①③[本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．]4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[m∈R是大前提，故该命题的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0.”]四种命题的3个处理技巧(1)要分清原命题的条件与结论．当原命题有大前提时，它的其他三种命题要保持大前提不变，只需改变小前提和结论．如T4.4(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(3)判断一个命题是真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题可举反例．考点2充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如綈p是綈q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设点A，B，C不共线，则“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→＋AC→|＞|BC→|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B(3)C[(1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2ab，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.(2)由x2－5x＜0得0＜x＜5，记A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得0＜x＜2，记B＝{x|05＜x＜2}，显然BA，∴“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.(3)|AB→＋AC→|＞|BC→|⇔|AB→＋AC→|＞|AC→－AB→|⇔AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→＞AB→2＋AC→2－2AB→·AC→⇔AB→·AC→＞0，由点A，B，C不共线，得〈AB→，AC→〉∈0，π2，故AB→·AC→＞0⇔AB→，AC→的夹角为锐角．故选C.][逆向问题](2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m＞14B．0＜m＜1C．m＞0D．m＞1C[若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞14，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.]判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的()A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件B[x2－5x－6＝0⇔x＝－1或x＝6，∵x＝－1⇒x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]2．给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为綈p是q的必要不充分条件，所以q⇒綈p，但綈pq，其等价于p⇒綈q，但綈qp，故选A.]3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人6之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件D[非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．]考点3充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．[0,3][由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.又S为非空集合，则1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.即所求m的取值范围是[0,3]．][母题探究]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．[解]由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则1－m≤1＋m，1－m≤－2，1＋m≥10，解得m≥9，即所求m的取值范围是[9，＋∞)．利用充要条件求参数的2个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．7设n∈N＋，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.3或4[由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.]