2020届高考数学大二轮复习 层级一 第三练 不等式、合情推理课时作业

-1-层级一第三练不等式、合情推理限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·潍坊三模)设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③ab＋ba＞2.上述三个式子恒成立的有()A．0B．1个C．2个D．3个解析：B[①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＞0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；ab＋ba＞2或ab＋ba＜－2，故选B.]2．(2019·龙岩质检)若函数f(x)＝log2x，x＞0，－2x＋12，x≤0，则“0＜x＜1”是“f(x)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[当0＜x＜1时，f(x)＝log2x＜0，所以“0＜x＜1”⇒“f(x)＜0”；若f(x)＜0，则x＞0，log2x＜0或x≤0，－2x＋12＜0，解得0＜x＜1或－1＜x≤0，所以－1＜x＜1，所以“f(x)＜0”⇒/“0＜x＜1”．故选A.]3．(2019·北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为()A．－7B．1C．5D．7解析：-2-C[本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解．题目难度不大，注重了基础知识、基本技能的考查．由题意－1≤yy－1≤x≤1－y，作出可行域如图阴影部分所示.设z＝3x＋y，y＝z－3x，当直线l0∶y＝z－3x经过点(2，－1)时，z取最大值5.故选C.]4．(2020·广州模拟)若关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为()A.－235，＋∞B.－235，1C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：A[令f(x)＝x2＋ax－2，则f(0)＝－2，①顶点横坐标x＝－a2≤0，要使关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则应满足f(5)＞0，解得a＞－235；②－a2＞0时，要使关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，也应满足f(5)＞0，解得a＞－235.综上可知：实数a的取值范围是－235，＋∞，故选A.]5．已知an＝13n，把数列{an}的各项排列成如下的形状：a1a2a3a4a5a6a7a8a9……记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(11,2)＝()A.1367B.1368-3-C.13101D.13102解析：D[由A(m，n)表示第m行的第n个数可知，A(11,2)表示第11行的第2个数，根据图形可知：每一行的最后一项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一项的项数为102＝100，即为a100，所以第11行的第2项的项数为100＋2＝102，所以A(11,2)＝a102＝13102，故选D.]6．(2019·泉州三模)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，则2m＋4n的最小值为()A．2B．22C．4D．8解析：C[因为向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b，所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2.所以2m＋4n≥22m·4n＝22m＋2n＝222＝4(当且仅当2m＝4n，m＋2n＝2，即m＝1，n＝0.5时，等号成立)，所以2m＋4n的最小值为4，故选C.]7．(2019·浙江卷)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a，b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果．当a＞0，b＞0时，a＋b≥2ab，则当a＋b≤4时，有2ab≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a＝1，b＝4时，满足ab≤4，但此时a＋b＝5＞4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．]8．(多选题)下列命题正确的是()A．已知a，b都是正数，且a＋1b＋1ab，则abB．已知f′(x)是f(x)的导函数，若∀x∈R，f′(x)≥0，则f(1)f(2)一定成立C．命题：“∃x∈R，使得x2－2x＋10”的否定是真命题D．“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件解析：AC[本题考查函数的性质，不等式的性质，比较大小以及充分必要条件．A.已知a，b都是正数，由a＋1b＋1ab，得ab＋bab＋a，则ab，正确；B.若f(x)是常数，则f(1)f(2)不成立；C.命题：“∃x∈R，使得x2－2x＋10”是假命题，则它的否定是真命题；D.“x≤1-4-且y≤1”⇒“x＋y≤2”，反之不成立，则“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充分不必要条件．]9．(2019·全国Ⅱ卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙解析：A[若甲预测正确，则乙、丙预测都不对，那么三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．]10．(2019·沧州三模)司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次司机甲、乙同时加同价格的油，但两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析()A．司机甲的均价低B．司机乙的均价低C．油价先高后低司机甲的均价低D．油价先低后高司机甲的均价低解析：B[设司机甲每次加m升油，司机乙每次加n元钱的油，第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升．司机甲这两次加油的均价为mx＋my2m＝x＋y2(元/升)司机乙这两次加油的均价为2nnx＋ny＝2xyx＋y(元/升)因为x≠y，所以x＋y22xyx＋y＝x2＋y2＋2xy4xy＞4xy4xy＝1.即司机乙这两次加油的均价低．]11．(2020·西安模拟)已知实数x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，x－3y－3≤0，y≤aa＞，若约束条件表示的平面区域的面积为9，则z＝x＋y的最小值为()-5-A．－2B．－12C．2D.12解析：C[由题意可知，可行域如图中△ABC及其内部所示，联立，得y＝a，2x＋3y－6＝0，可得A3－32a，a，联立，得y＝a，x－3y－3＝0，可得C(3a＋3，a)，所以|AC|＝92a，故△ABC的面积为12×92a×a＝9，解得a＝2或a＝－2(舍去)，故A(0,2)．作出直线y＝－x，平移该直线，当直线经过可行域内的A点时，z取得最小值，且zmin＝2，选C.]12．(2020·厦门模拟)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋43解析：D[因为log4(3a＋4b)＝log2ab，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且3a＋4b＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0，所以4a＋3b＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)4a＋3b＝7＋4ba＋3ab≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当4ba＝3ab时取等号，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·吉林三模)已知正实数x，y满足xy＋x＋y＝17，则x＋2y＋3的最小值为________．解析：由题意，得y＝17－xx＋1＞0，x＞0，则0＜x＜17，所以x＋2y＋3＝x＋34－2xx＋1＋3＝(x＋1)＋36x＋1≥2x＋36x＋1＝12，当且仅当x＝5时取等号，故x＋2y＋3的最小值-6-为12.答案：1214．(2020·绵阳诊断)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第11行第2个数(从左往右数)为________．11121213161314112112141512013012015……解析：由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.答案：111015.(2019·青岛三模)祖暅(公元前5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄的几何体(如图)(称为椭球体)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．解析：椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后-7-在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2π×b2×a－13π×b2a＝43π×b2a.答案：43π×b2a16．(与物理知识交汇)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76000vv2＋18v＋20l.①如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；②如果限定车型，l＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加______辆/时．解析：①当l＝6.05时，F＝76000vv2＋18v＋121＝76000v＋121v＋18≤760002v·121v＋18＝7600022＋18＝1900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．②当l＝5时，F＝76000vv2＋18v＋100＝76000v＋100v＋18≤760002v·100v＋18＝7600020＋18＝2000.当且仅当v＝10米/秒时，车流量最大为2000辆/时比①中最大车流量增加100辆/时．答案：1900100