2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题一 函数与导数 第3讲 导数的简单应用课时作业

-1-第3讲导数的简单应用限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2020·南开中学质检)已知函数f(x)＝g(x)＋2x且曲线y＝g(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为()A．2B．4C．6D．8解析：B[∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2.∵函数f(x)＝g(x)＋2x，∴f′(x)＝g′(x)＋2，∴f′(1)＝g′(1)＋2，∴f′(1)＝2＋2＝4，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为4.故选B.]2．(2019·南京三模)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解析：D[因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x＞1时，f′(x)＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x＞1，所以0＜1x＜1，所以k≥1.故选D.]3．(2019·保定三模)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()A．[0,1)B．(－1,1)C.0，12D．(0,1)解析：D[f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．当a＞0时，f′(x)＝3(x－a)(x＋a)．当x∈(－∞，－a)和(a，＋∞)时，f(x)单调递增；当x∈(－a，a)时，f(x)单调递减，所以当a＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0,1)内有最小值．]-2-4．(2020·长沙模拟)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋3x＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－3)C．(－3，3)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：D[f′(x)＝x2＋2ax＋3.由题意知方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－12＞0，解得a＞3或a＜－3.]5．(2019·长春质量监测)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f′(x)＋f(x)＞0，其中f′(x)为f(x)的导函数，设a＝f(0)，b＝2f(ln2)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是()A．c＞b＞aB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：A[令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0，所以函数g(x)在定义域R上单调递增，从而g(0)＜g(ln2)＜g(1)，得f(0)＜2f(ln2)＜ef(1)，即a＜b＜c.故选A.]6．(山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3解析：A[当y＝sinx时，y′＝cosx，cos0·cosπ＝－1，所以在函数y＝sinx图象存在两点x＝0，x＝π使条件成立，故A正确；函数y＝lnx，y＝ex，y＝x3的导数值均非负，不符合题意，故选A.]二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7．(2019·厦门三模)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为____________．解析：由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2.答案：1＋ln28．(2019·潍坊三模)设函数f(x)＝lnx－12ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围是____________．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，-3-由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝1x－ax＋a－1＝－ax2＋1＋ax－xx＝－ax＋x－x.①若a≥0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a＞1，解得－1＜a＜0.综合①②得a的取值范围是(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9．(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex∴f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex∴f′(2)＝(2a－1)e2＝0∴a＝12(2)f′(x)＝(ax－1)(x－1)ex①当a＝0时，令f′(x)＝0得x＝1f′(x)，f(x)随x变化如下表：x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值∴f(x)在x＝1处取得极大值(舍)②当a＞0时，令f′(x)＝0得x1＝1a，x2＝1a．当x1＝x2，即a＝1时，f′(x)＝(x－1)2ex≥0∴f(x)在R上单调递增∴f(x)无极值(舍)-4-b．当x1＞x2，即0＜a＜1时，f′(x)，f(x)随x变化如下表：x(－∞，1)11，1a1a1a，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)在x＝1处取极大值(舍)c．当x1＜x2，即a＞1时f′(x)，f(x)随x变化如下表：x－∞，1a1a1a，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)在x＝1处取极小值即a＞1成立③当a＜0时，令f′(x)＝0得x1＝1a，x2＝1f′(x)，f(x)随x变化如下表：x－∞，1a1a1a，11(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值∴f(x)在x＝1处取极大值(舍)综上所述：a的取值范围为(1，＋∞)．10．(2019·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性．(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．解析：这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．(1)对f(x)＝2x3－ax2＋b求导得f′(x)＝6x2－2ax＝6xx－a3.所以有当a＜0时，－∞，a3区间上单调递增，a3，0区间上单调递减，(0，＋∞)区间上单调递增；当a＝0时，(－∞，＋∞)区间上单调递增；当a＞0时，(－∞，0)区间上单调递增，0，a3区间上单调递减，a3，＋∞区间上单调-5-递增．(2)若f(x)在区间[0,1]有最大值1和最小值－1，所以若a＜0，－∞，a3区间上单调递增，a3，0区间上单调递减，(0，＋∞)区间上单调递增；此时在区间[0,1]上单调递增，所以f(0)＝－1，f(1)＝1代入解得b＝－1，a＝0，与a＜0矛盾，所以a＜0不成立．若a＝0，(－∞，＋∞)区间上单调递增；在区间[0.1]．所以f(0)＝－1，f(1)＝1代入解得a＝0b＝－1.若0＜a≤2，(－∞，0)区间上单调递增，0，a3区间上单调递减，a3，＋∞区间上单调递增．即f(x)在区间0，a3单调递减，在区间a3，1单调递增，所以区间[0,1]上最小值为fa3而f(0)＝b，f(1)＝2－a＋b≥f(0)，故所以区间[0,1]上最大值为f(1).即2a33－aa32＋b＝－12－a＋b＝1相减得2－a＋a327＝2，即a(a－33)(a＋33)＝0，又因为0＜a≤2，所以无解．若2＜a≤3，(－∞，0)区间上单调递增，0，a3区间上单调递减，a3，＋∞区间上单调递增．即f(x)在区间0，a3单调递减，在区间a3，1单调递增，所以区间[0,1]上最小值为fa3而f(0)＝b，f(1)＝2－a＋b≤f(0)，故所以区间[0,1]上最大值为f(0).即2a33－aa32＋b＝－1b＝1相减得a327＝2，解得x＝332，又因为2＜a≤3，所以无解．若a＞3，(－∞，0)区间上单调递增，0，a3区间上单调递减，a3，＋∞区间上单调递增．所以有f(x)区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为f(0)，最小值为f(1)即b＝12－a＋b＝－1解得a＝4b＝1.-6-综上得a＝0b＝－1或a＝4b＝1.答案：(1)见详解；(2)a＝0b＝－1或a＝4b＝1.11．(2018·江苏卷)记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数．若存在x0∈R，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”．(1)证明：函数f(x)＝x与g(x)＝x2＋2x－2不存在“S点”；(2)若函数f(x)＝ax2－1与g(x)＝lnx存在“S点”，求实数a的值；(3)已知函数f(x)＝－x2＋a，g(x)＝bexx.对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)内存在“S点”，并说明理由．解：(1)f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2若存在，则有x20＋2x0－2＝x0……①1＝2x0＋2……②根据②得到x0＝－12代入①不符合，因此不存在“S点”．(2)f′(x)＝2ax，g′(x)＝1x根据题意有ax20－1＝lnx0……①2ax0＝1x0……②且有x0＞0根据②得到x0＝12a代入①得到a＝e2.(3)f′(x)＝－2x，g′(x)＝bexx－x2-7-转化为－x20＋a＋2x20x0－1＝0∵0＜x0＜1∴－x30＋x20＋a(x0－1)＋2x20＝0⇒m(x)＝－x30＋3x20＋a(x0－1)＝0转化为m(x)存在零点x0,0＜x0＜1又m(0)＝－a＜0，m(1)＝2∴m(x)恒存在零点大于0小于1∴对任意a＞0均存在b＞0，使得存在“S点”．