安徽省枞阳县浮山中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）

1安徽省枞阳县浮山中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.若A，B表示点，a表示直线，表示平面，则下列叙述中正确的是A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则2.已知直线l的方向向量，平面的法向量，若1，，0，，则直线l与平面的位置关系是A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l在平面内或直线l与平面平行3.化简方程为不含根式的形式是A.B.C.D.4.已知圆，直线l：若圆上有2个点到直线l的距离等于则以下b可能的取值是A.1B.C.2D.5.已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为A.7B.6C.5D.46.若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是A.B.C.或D.7.已知直线l：和点在直线上求一点Q，使过P、Q的直线与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小．则Q坐标为A.B.C.D.8.设是双曲线的一个焦点，，是C的两个顶点，C上存在一点P，使得与以为直径的圆相切于Q，且Q是线段的中点，则C的渐近线方程为A.B.C.D.9.已知双曲线C：的离心率为2，左右焦点分别为，，点A在双曲线C上，若的周长为10a，则的面积为A.B.C.D.10.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点A.必在圆外B.必在圆上C.必在圆内D.以上三种情形都有可能11.已知，Q是椭圆上的动点，M是线段PQ上的点，且满足，则动点M的轨迹方程是A.B.C.D.12.已知双曲线左焦点为F，P为双曲线右支上一点，若FP的中点在以为半径的圆上，则P的横坐标为A.B.4C.D.6二、填空题（本大题共4小题）13.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．14.，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为______．15.已知O为坐标原点，平行四边形ABCD内接于椭圆：，点E，F分别为AB，AD的中点，且OE，OF的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．216.如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知一动圆与圆外切，且与圆内切．求动圆圆心P的轨迹方程C；过点能否作一条直线l与C交于A，B两点，且点Q是线段AB的中点，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．18.如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且求证：平面BDEF；求二面角的余弦值．19.已知椭圆C：的焦距为2，左右焦点分别为，，以原点O为圆心，以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设不过原点的直线l：与椭圆C交于A，B两点．若直线与的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求面积的取值范围．320.已知抛物线，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且．Ⅰ求点P的轨迹方程；Ⅱ试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．21.已知椭圆，若在，，四个点中有3个在M上．求椭圆M的方程；若点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，且，求的取值范围．22.已知椭圆C的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，离心率为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点求证：与的面积之比为4：5．4答案和解析1.【答案】D【解析】解：点与面的关系用符号，而不是，所以答案A错误；直线与平面的关系用表示，则表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面内，也存在，答案C错误；而，，则，所以答案D正确．故选：D．本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．2.【答案】D【解析】解：，，直线l在平面内或直线l与平面平行．故选：D．由，即可判断出直线l与平面的位置关系．本题考查了平面法向量的应用、直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个简单题．方程，它的几何意义是动点到定点与到定点的距离之和为10，从而轨迹为椭圆，故可求．【解答】解：方程，它的几何意义是动点到定点与到定点的距离之和为，从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上，且，，，其标准方程为：故选：C．4.【答案】C【解析】解：圆的圆心坐标为，半径．要使圆上有2个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线l：的距离d满足，即，即，解得，结合选项可得b可能的取值是2．故选：C．由题意可得圆心到直线l：的距离d满足根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数b的取5值范围，结合选项得答案．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，是基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系的应用，两点距离公式的应用，属于一般题．由，可得点P在以AB为直径的圆上，又点P在圆C上，则两圆有交点，由两圆的位置关系列关系式求得m的取值范围即可．【解答】解：圆C：的圆心，半径为1，圆心C到的距离为5，圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得，故有，故选：B．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题．由题意可得可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍，，根据点到直线的距离公式解得即可．【解答】解：设，故可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍，取值与x，y无关，这个距离之和与P无关，如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，，化简得，解得或舍去，．故选：D．7.【答案】C6【解析】解：设，则直线PQ：，令，则，即直线PQ与x轴交点的坐标为，根据题意，，所以直线PQ与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积：，当且仅当取等，此时，故选：C．设出点Q的坐标利用图形之间的关系表示出所求的三角形的面积．通过建立的函数类型选择合适的方法求出面积的最小值即可．本题是函数与直线问题的小综合题，首先要建立起三角形面积与动点坐标之间的函数关系，根据函数的类型进行适当变形利用基本不等式求解所求的最值，体现了转化与化归的思想．8.【答案】C【解析】解：由于O为的中点，Q为线段的中点，则由中位线定理可得，，由与以线段为直径的圆相切于点Q，则，，由双曲线的定义可得，，即有，由，由勾股定理可得，即，则，即．的渐近线方程为．故选：C．运用中位线定理，可得，，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理得到，则C的渐近线方程可求．本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：双曲线C：的离心率为2，左，右焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为10a，不妨A在双曲线右支，可得：，，，解得，，所以的面积：．故选：B．利用双曲线的离心率以及定义结合的周长为10a，求出、；然后推出结果．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．通过可得，利用韦达定理可得、，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论．【解答】解：，，，是方程的两个实根，由韦达定理：，，7，点必在圆内．故选：C．11.【答案】B【解析】解：椭圆即，设动点，，则有．，，，，代入化简可得，故选：B．设动点，，则有，由，得到，，代入化简可得结果．本题考查用代入法求点的轨迹方程，得到，是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：双曲线的，，，，左焦点为，P为双曲线右支上一点，设，，设双曲线的右焦点为，若FP的中点M在以为半径的圆上，连接，OM，由三角形的中位线定理可得，双曲线的右准线方程为即，由双曲线的第二定义可得，解得．故选：C．求得双曲线的a，b，c和e，设，，设双曲线的右焦点为，连接，OM，由三角形的中位线定理可得，求得双曲线的右准线方程，结合双曲线的第二定义，解方程可得所求横坐标．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，运用定义法解题是解决圆锥曲线问题的常用方法，属于中档题．13.【答案】【解析】解：双曲线的渐近线方程为，由一条渐近线方程为，可得，椭圆的焦点为，，可得，由可得，，即双曲线的方程为，故答案为：．由双曲线的渐近线方程可得，，求得椭圆的焦点，可得，，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据双曲线的定义，可得，是等边三角形，即，，8又，，中，，，，，即，解得，，双曲线的渐近线的渐近线方程为，故答案为：根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，可得a，b的关系，即可得到双曲线渐近线方程．本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．15.【答案】【解析】解：设，则，由对称性可得：，则，可得，．相减可得：，AD斜率之积为．，F分别为AB，AD的中点，且OE，OF的斜率之积为，则OE，OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积．，则椭圆的离心率为，故答案为：．设，则，由对称性可得：，则，由可得，，相减可得：AB，AD斜率之积为由E，F分别为AB，AD的中点，可得OE，OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积．即，即可求得椭圆的离心率．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：取AC的中点O，连结OP，OB，，，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又，，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，是等腰直角三角形，，为直角三角形，0，，0，，0，，，0，，，．异面直线AC与PD所成角的余弦值为．故答案为：．取AC的中点O，连结OP，OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值．本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．17.【答案】解：设动圆圆心半径为r，9根据题意得：，所以，则动圆圆心P轨迹为双曲线右支，，，，其方程为；设，，，，得，，，，，所以，所以存在这样的直线，且AB：．【解析】直接利用条件列出关系式，结合双曲线的定义，求出圆心P的轨迹方程；利用点差法，就可求出斜率，然后写出直线方程．考查曲线轨迹方程的求法，圆的几何性质的应用，利用点差法求出直线的斜率，考查计算能力．本题是中档题，18.【答案】证明：设AC、BD交于点O，连结OF、DF，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且，，，，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，，平面BDEF．，，平面ABCD，以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，1，，0，，，1，，，设平面ABF的法向量y，，则，取，得，设平面BCF的法向量y，，则，取，得，设二面角的平面角为，则．又为钝角，二面角的余弦值为．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，，，由此能证明平面BDEF．以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．19.【答案】解：Ⅰ由题意可得，即，10由直线