2019-2020学年新教材高中数学 模块复习课学案 新人教B版第三册

1模块复习课一、弧度制与任意角的三角函数1.角的概念经过推广以后，包括正角、负角、零角．2.按角的终边所在位置可分为象限角和坐标轴上的角(又叫象限界角)．3.与角α终边相同的角可表示为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．4．角度制与弧度制的换算关系是180°＝π.5．扇形弧长公式是l＝αr，扇形面积公式是S＝12lr.6．三角函数在各象限的符号可简记为一全正，二正弦，三正切，四余弦．7．同角三角函数的基本关系式是sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα.8．三角函数的诱导公式都可表示为kπ2±α，k∈Z的形式，可简记为奇变偶不变，符号看象限．二、三角函数的图像与性质1.正弦函数(1)定义域R，值域[－1,1]，最小正周期2π.(2)单调增区间：－π2＋2kπ，π2＋2kπk∈Z；单调减区间：π2＋2kπ，3π2＋2kπk∈Z.2.余弦函数单调增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z；单调减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.3.正切函数(1)定义域：xx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.(2)单调增区间：－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z.4．对于y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)，应明确A，ω决定“形变”，φ，k决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．5．由已知函数图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的解析式时常用的解题方法2是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ.但由图像求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．三、平面向量的数量积1.两个向量的夹角已知两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．(1)两个向量的夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．(2)当〈a，b〉＝π2时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.2.向量数量积的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．(1)当〈a，b〉∈0，π2时，a·b＞0;当〈a，b〉＝π2时，a·b＝0；当〈a，b〉∈π2，π时，a·b0.(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：不等式|a·b|≤|a||b|恒等式a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝a·a向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝03.向量的投影与向量数量积的几何意义(1)设非零向量b所在的直线为l，向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cos〈a，b〉为向量a在b上的投影的数量．(3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．四、向量的运算律与坐标运算1.向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a.(2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).3(3)分配律(λ＋u)a＝λa＋ua，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2.向量的坐标运算已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2，|a|＝x21＋y21，a2＝x21＋y21，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.五、三角恒等变换1.和角公式(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(2)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β_.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2.辅助角公式f(x)＝asinx＋bcosx＝a2＋b2·sin(x＋φ)．3.倍角公式(1)sin2α＝2sin_αcos_α，(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.4．半角公式sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝±1＋cosα2，tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝1－cosαsinα＝sinα1＋cosα.5．积化和差公式cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；4cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．6．和差化积公式sinx＋siny＝2sinx＋y2cosx－y2；sinx－siny＝2cosx＋y2sinx－y2；cosx＋cosy＝2cosx＋y2cosx－y2；cosx－cosy＝－2sinx＋y2sinx－y2.1.钝角是第二象限角．(√)[提示]钝角的范围是大于90°而小于180°，始边与x轴正半轴重合时，终边落在第二象限，因此钝角是第二象限角．2.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关．(×)[提示]根据角度、弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以错误．3.已知α是三角形的内角，则必有sinα0.(√)[提示]当α为三角形的内角时，0°α180°，由三角函数的定义知sinα0.4．三角函数线的长度等于三角函数值．(×)[提示]三角函数线表示轴上的向量，不仅有大小，也有方向，三角函数线的方向表示三角函数值的正负．5．对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．(×)[提示]由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以错误．6．若cosα＝0，则sinα＝1.(×)[提示]由同角三角函数关系式sin2α＋cos2α＝1知，当cosα＝0时，sinα＝±1.7．诱导公式中角α是任意角．(×)[提示]正余弦函数的诱导公式中，α为任意角但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．58．若sinπ2＋θ0，且cosπ2－θ0，则θ是第一象限角．(×)[提示]由题意得sinπ2＋θ＝cosθ0cosπ2－θ＝sinθ0，所以θ为第二象限角．9．画正弦函数图像时，函数自变量通常用弧度制表示．(√)[提示]在平面直角坐标系中画y＝sinx(x∈R)的图像自变量x为实数，通常用弧度表示．10．函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.(×)[提示]在y＝3sin(2x－5)中x＝0时的相位φ＝－5称为初相，故初相为－5.11.由函数y＝sinx＋π3的图像得到y＝sinx的图像，必须向左平移．(×)[提示]由函数y＝sinx＋π3的图像得到y＝sinx的图像，可以把y＝sinx＋π3的图像向右平行移动π3得到y＝sinx的图像．12.函数y＝sinx，x∈π2，5π2的图像与函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像的形状完全一致．(√)[提示]由正、余弦曲线可知它们的图像形状一致．13.将函数y＝sinx的图像向左平移π2个单位，得到函数y＝cosx的图像．(√)[提示]函数y＝sinx的图像向左平移π2个单位，得到函数y＝sinx＋π2的图像，因为y＝sinx＋π2＝cosx，故正确．14．正切函数在整个定义域上是增函数．(×)[提示]正切函数的定义域为－π2＋kπ，π2＋kπk∈Z，只能说正切函数在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z上为增函数，不能说它在整个定义域上为增函数．15．若sinα＝15，且α∈π2，π，则α可表示为α＝π2＋arcsin15.(×)[提示]∵α∈π2，π，6∴π－α∈0，π2.∵sinα＝sin(π－α)＝15，∴π－α＝arcsin15，∴α＝π－arcsin15.16．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2＝a2b1.(√)[提示]若a∥b，则a1b2－a2b1＝0即a1b2＝a2b1.17．若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(×)[提示]当b＝0时，满足a·b＝b·c，但不一定有a＝c.18．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.(×)[提示]当a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a，b为非零向量时，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.19．对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ都不成立．(×)[提示]当α＝π3，β＝－π3时，cos(α＋β)＝1，cosα＋cosβ＝1，此时cos(α＋β)＝cosα＋cosβ.20．对于任意α∈R，sinα2＝12sinα都不成立．(×)[提示]当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．21.tanα2＝sinα1＋cosα，只需要满足α≠2kπ＋π，(k∈Z)．(√)[提示]tanα2中，α2≠kπ＋π2即α≠2kπ＋π，(k∈Z)，sinα1＋cosα中，cosα≠－1即α≠2kπ＋π，(k∈Z)．22.若x＋y＝1，则sinx＋siny≥1.(×)[提示]∵sinx＋siny＝2sinx＋y2cosx－y2＝2sin12cosx－y2，又012π6π2，∴sin12sinπ6.∴2sin122sinπ6＝1，∴sinx＋siny＝2sin12cosx－y2cosx－y2≤1.∴sinx＋siny1.71.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|A[f(x)＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f(x)＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；f(x)＝|sin2x|在π4处取得最大值，不可能在区间π4，π2单调递增，可排除B．故选A．]2.(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A．89B．79C．－79D．－89B[cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.]3.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B．]4．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．πA[f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤3π4.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以－a≥－π4，a≤3π4，解得a≤π4，所以0＜a≤π4，所以a的最大值是π4，故选A．]5．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()8A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线