内蒙古师范大学锦山实验学校2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理

内蒙古师范大学锦山实验学校2019-2020学年高二数学上学期期中试题理本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，注意事项：1．第Ⅰ卷的答案涂在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效。2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。3．考试结束，只交答题卷。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，每道小题的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1、函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()．A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)2、由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有()．A．238个B．232个C．174个D．168个3、设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()．A．2B．－2C．－12D.124、已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()．A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件5、某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()．A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大6、若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为()．A．1B.2C.22D.37、曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积为()．A．23B．43C．16D．136.8、把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()．A.12B.14C.16D.189、p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·bm＋dn(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为()．A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定10、设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()．A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.4511、若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝()．A．9B．10C．－9D．－1012、函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)·f′(x)0，设a＝f(0)，b＝f(12)，c＝f(3)，则()A．abcB．cbaC．cabD．bca第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共4个小题，本题满分20分）13、在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．14、(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．15、随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝________.16、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他题每题12分，共70分）17、为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d18、数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．．19、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．20、已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．21、甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为23，乙机投弹一次命中目标的概率为12，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响．(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；(2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．22、已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1(a∈R)．当a≤12时，讨论f(x)的单调性．参考答案一、选择题123456789101112CCACABDABADC二、填空题13V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.14.2150.716.②④三、解答题17、解(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.----4分(2)K2＝－270×430×200×300≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区老年人是否需要帮助与性别有关．--------------------8分(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，采用分层抽样方法，这要比采用简单随机抽样方法更好．------------10分18、解(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝32.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝74.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝158.-------------4分由此猜想an＝2n－12n－1(n∈N*)．------------------------------6分(2)证明①当n＝1时，左边＝a1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝2k－12k－1，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝2＋ak2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k，这表明n＝k＋1时，结论成立，由①②知猜想an＝2n－12n－1成立．--------------------12分19、解(1)设袋中白球共有x个，根据已知条件C2xC27＝17，即x2－x－6＝0，解得x＝3，或x＝－2(舍去)．--------------3分(2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2，3,4,5.因此，P(X＝1)＝A13A17＝37，P(X＝2)＝A14A13A27＝27，P(X＝3)＝A24A13A37＝635，P(X＝4)＝A34A13A47＝335，P(X＝5)＝A44A13A57＝135.则随机变量X的分布列为：X12345P3727635335135---------9分(3)甲取到白球的概率为P＝A13A17＋A24A13A37＋A44A13A57＝37＋635＋135＝2235.------12分20、解(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.由f′(x)≥0，得a≤32x－1x.记t(x)＝32x－1x，当x≥1时，t(x)是增函数，∴t(x)min＝32(1－1)＝0.∴a≤0.------------------------------6分(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.令f′(x)＝0，得x1＝－13，x2＝3.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x－∞，－13－13－13，33(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x∈－∞，－13，[3，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈－13，3时，f(x)单调递减．-------------------------12分21、设Ak表示甲机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙机命中目标l次，l＝0,1,2，则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P(Ak)＝Ck223k132－k，P(Bl)＝Cl212l122－l.据此算得P(A0)＝19，P(A1)＝49，P(A2)＝49.P(B0)＝14，P(B1)＝12，P(B2)＝14.(2分)(1)所求概率为1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝1－19×14＋19×12＋49×14＝1－736＝2936.(4分)(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)·P(B0)＝19×14＝136，P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝19×12＋49×14＝16，P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝19×14＋49×12＋49×14＝1336，(8分)P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝49×14＋49×12＝13，P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝49×14＝19.(10分)综上知，ξ的分布列如下：ξ01234P1361613361319从而ξ的期望为E(ξ)＝0×136＋1×16＋2×1336＋3×13＋4×19＝73.(12分)22、解：因为f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1，所以f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2，x∈(0，＋∞)．(4分)令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，所以当x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；(6分)②当a≠0时，由f′(x)＝0，即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝1a－1.a．当a＝12时，x1＝x2，g(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(7分)b．当0＜a＜12时，1a－1＞1＞0.x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；x∈1，1a－1时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；x∈1a－1，＋∞时，g(x)＞0，此时f′(x)＜