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11．5.2全称量词命题与存在量词命题的否定1．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系．2．能正确对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，綈p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，綈p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．1．对于一个全称量词命题要否定它，需要考虑哪几个方面？[答案]两个方面：一是改量词，将全称量词改为存在量词，二是否定结论2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．()(2)∃x∈M，使x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．()(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．()(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×题型一全称量词命题的否定【典例1】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)等圆的面积相等；2(3)每个三角形至少有两个锐角．[解](1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m0，即m－14时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题．(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题．(3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题．(1)对全称量词命题否定的两个步骤①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定．(2)全称量词命题否定后的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．[针对训练]1．写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)∀x∈R，|x|≥x；(3)∀x∈R＋，x为正数．[解](1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题．(2)原命题的否定为“∃x∈R，使|x|x”，这个命题是假命题．(3)原命题的否定为“∃x∈R＋，使x≤0”，这个命题是假命题.题型二存在量词命题的否定【典例2】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有一个奇数不能被3整除；(2)有些三角形的三个内角都是60°；3(3)∃x∈R，使得|x＋1|≤1.[解](1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除．(2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.(3)题中命题的否定为“∀x∈R，有|x＋1|1”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|1.(1)对存在量词命题否定的两个步骤①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．(2)存在量词命题否定后的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．[针对训练]2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．(1)有的素数是偶数；(2)∃x∈R，使x2＋x＋140；(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.[解](1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．(2)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋14≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋14＝x＋122≥0.(3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.课堂归纳小结1．写出一个含有量词的命题的否定，一般分二步：一是改量词，二是否结论.42.能够判断一个“命题的否定”的真假，注意到一个命题和命题的否定一真一假.1．命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是()A．∀x∈R，x2－2x－3≤0B．∃x∈R，x2－2x－3≥0C．∃x0∈R，x2－2x－30D．∀x∈R，x2－2x－30[解析]存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“”．故选D.[答案]D2．已知命题p：∀x0，x2≥2，则它的否定为()A．∀x0，x22B．∀x≤0，x22C．∃x≤0，x22D．∃x0，x22[答案]D3．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是()A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除[解析]全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以选项A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D错误，选项C正确，故选C.[答案]C4．对下列命题的否定，其中说法错误的是()A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－30B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋20[解析]若p：有的三角形为正三角形，则p的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．[答案]C5．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)菱形是平行四边形；(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；5(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0.[解](1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题．(2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题．(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．(4)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋10”，这个命题为真命题．因为x2＋x＋1＝x2＋x＋14＋34＝x＋122＋340.课后作业(九)复习巩固一、选择题1．命题“∃x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是()A．∃x∈Z，使x2＋2x＋m0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m0C．∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤0D．∀x∈Z，使x2＋2x＋m0[解析]存在量词命题的否定为全称量词命题，否定结论，故选D.[答案]D2．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形[解析]在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.[答案]C3．已知命题p：∀x0，x＋1x≥2，则它的否定为()A．∀x0，x＋1x2B．∀x≤0，x＋1x26C．∃x≤0，x＋1x2D．∃x0，x＋1x2[答案]D4．命题“∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是()A．∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根[解析]存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.[答案]C5．下列四个命题中，真命题是()A．∀x∈R，x＋1x≥2B．∃x∈R，x2－x5C．∃x∈R，|x＋1|0D．∀x∈R，|x＋1|0[解析]选项A，当x0时，x＋1x≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错，故选B.[答案]B二、填空题6．命题p：∃x∈R，x2＋3x＋20，则命题p的否定为________．[解析]命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是∀x∈R，x2＋3x＋2≥0.[答案]∀x∈R，x2＋3x＋2≥07．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________________________．[解析]该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．[答案]任意一个三角形都有外接圆8．由命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]因为命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,2x2＋3x＋a0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a0，解得a98.故实数a的取值范围是a98.[答案]aa98三、解答题79．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)对任意实数x1，x2，若x1x2，则x21＋1x22＋1；(4)∃x1，使x2－2x－3＝0.[解](1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1x2，则x21＋1≥x22＋1”．这个命题中若x1＝－1，x2＝1，有x21＋1＝x22＋1，故这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．(4)这个命题的否定为“∀x1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．10．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．[解]题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．所以a＝0，或a≠0，4－4a≥0，即a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1.所以实数a的取值范围是{a|a≤1}．综合运用11．设命题p：∃n∈N，n22n，则p的否定为()A．∀n∈N，n22nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n[解析]因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n22n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.[答案]C12．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nx2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得nx2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得nx2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得nx2[解析]由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥