（新高考）2020版高考数学二轮复习 专项小测2 “12选择＋4填空” 理

-1-专项小测(二)“12选择＋4填空”时间：45分钟满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－4＜0}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝()A．{x|0＜x＜2}B．{x|x＜2}C．{x|－2＜x＜0}D．{x|x＞－2}解析：解不等式x2－4＜0得－2＜x＜2，所以集合A＝{x|－2＜x＜2}，解不等式2x＜1得x＜0，所以集合B＝{x|x＜0}，所以A∪B＝{x|x＜2}，故选B.答案：B2．若复数z满足z(1＋i)＝|1＋3i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由题得z＝21＋i＝21－i1＋i1－i＝1－i，所以z＝1＋i，所以在复平面内z的共轭复数对应的点为(1,1)，在第一象限，故选A.答案：A3．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2，x)满足(3a＋b)·c＝10，则x＝()A．1B．2C．3D．4解析：由题意，向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2，x)，则向量3a＋b＝3(1,1)＋(－1,3)＝(2,6)，所以(3a＋b)·c＝(2,6)·(2，x)＝2×2＋6x＝10，解得x＝1，故选A.答案：A4．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为()-2-A.125B.340C.18D.35解析：如图，F为月球的球心，月球半径为12×3476＝1738，依题意，|AF|＝100＋1738＝1838，|BF|＝400＋1738＝2138,2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：e＝ca＝1501988≈340，故选B.答案：B5．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是()A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：总体均值为2，总体方差为3D．丁地：中位数为2，众数为3解析：A选项，若10天内数据为：0,0,0,0,4,4,4,4,4,10，满足均值为3，中位数为4，存在超过7人的情况，不符合该标志，则A错误；B选项，若10天内数据为：0,0,0,0,0,0,0,0,0,10，满足均值为1，方差大于0，存在超过7人的情况，不符合该标志，则B错误；C选项，设10天内存在一天超过7人，为最低的超过标志的人数8人，则必有s2＝110[(x1－2)2＋…＋(x9－2)2＋(8－2)2]3，可知方差不可能为3，可知假设错误，则必符合该标志，则C正确；D选项，若10天内数据为0,0,1,1,2,2,3,3,3,10，满足中位数为2，众数为3，存在超过7人的情况，不符合该标志，则D错误，故选C.答案：C6．若ab，ab≠0，则下列不等式恒成立的是()A．a2b2B．lg(a－b)0C.1a1bD．2a2b解析：对于选项A，a2b2不一定成立，如a＝1b＝－2，但是a2b2，所以该选项是错误的；-3-对于选项B，a＝12，b＝13，a－b＝16，lg160，所以该选项是错误的；对于选项C，1a－1b＝b－aab，因为b－a0，ab符号不确定，所以1a1b不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D，因为ab，所以2a2b，所以该选项是正确的，故选D.答案：D7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．若m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意得，当m⊥α，n⊥β，且m⊥n时，则必有α⊥β；反之，当α⊥β，m⊥α，n⊥β时，则必有m⊥n，所以当m⊥α，n⊥β时，则“m⊥n”是“α⊥β”的充要条件，故选C.答案：C8．已知M是抛物线C：y2＝2px(p0)上的任意一点，以M为圆心的圆与直线x＝－1相切且经过点N(1,0)，设斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则线段PQ的中点的纵坐标为()A．2B.4C．6D．8解析：由于以M为圆心的圆与直线x＝－1相切且经过点N(1,0)，根据抛物线的定义可知N为抛物线的焦点，所以p2＝1，p＝2，得抛物线方程为y2＝4x.设斜率为1的直线的方程为y＝x＋b，则x＝y－b，代入抛物线方程得y2＝4(y－b)，整理得y2－4y＋4b＝0，所以y1＋y2＝4，y1＋y22＝42＝2，得PQ中点的纵坐标为2，故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝cos2x－π3在a，π2上有最小值－1，则a的最大值为()A．－π2B．－π3C．－π4D．－π6解析：函数f(x)＝cos2x－π3，∵x∈a，π2，-4-∴2x－π3∈2a－π3，2π3，f(x)在a，π2上有最小值－1，根据余弦函数的性质，可得2a－π3≤－π，可得a≤－π3，故选B.答案：B10．已知sinθ＋π4＝2cosθ＋π4，则sin2θ＝()A.18B.310C.35D.45解析：通解：由题得tanθ＋π4＝2，∴1＋tanθ1－tanθ＝2，∴tanθ＝13.当θ在第一象限时，sinθ＝1010，cosθ＝31010，∴sin2θ＝2×1010×31010＝35；当θ在第三象限时，sinθ＝－1010，cosθ＝－31010，∴sin2θ＝2×－1010×－31010＝35，故选C.另解：由题意得sinθ＋cosθ＝2(cosθ－sinθ)两边平方，得1＋sin2θ＝4(1－sin2θ)，所以sin2θ＝35.答案：C11．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与C的公共点为P，若ΔPF1F2是直角三角形，则C的离心率为()A.2－1B.5－1C.2＋1D.5＋1解析：由题意知|F1F2|＝2c＝|PF1|，若ΔPF1F2是直角三角形，则∠PF1F2＝π2，且|PF2|＝22c，又由双曲线的定义-5-可知|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝2a＋2c＝22c，即2a＝(22－2)c.由e＝ca＝12－1，解得e＝2＋1，故选C.答案：C12．设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对于任意的实数x，都有f(x)＝6x2－f(－x)，当x∈(－∞，0)时，2f′(x)＋1＜12x，若f(m＋2)≤f(－2m)＋12m＋12－9m2，则实数m的取值范围是()A.－23，＋∞B.－12，＋∞C．[－1，＋∞)D．[－2，＋∞)解析：因为f(x)＝6x2－f(－x)，所以f(x)－3x2＝－[f(－x)－3(－x)2]．记g(x)＝f(x)－3x2，则g(x)＝－g(－x)，所以g(x)为奇函数，且g′(x)＝f′(x)－6x.又因为当x∈(－∞，0)时，2f′(x)＋1＜12x，即f′(x)－6x－12，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．又因为g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递减，若f(m＋2)≤f(－2m)＋12m＋12－9m2，则f(m＋2)－3(m＋2)2≤f(－2m)－3(－2m)2，即g(m＋2)≤g(－2m)，所以m＋2≥－2m，所以m≥－23，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f(x)＝1x＋log21＋ax1－x为奇函数，则实数a＝________.解析：∵函数f(x)＝1x＋log21＋ax1－x为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，则－1x＋log21－ax1＋x＋1x＋log21＋ax1－x＝0，即log21＋ax1－x·1－ax1＋x＝0，-6-∴1＋ax1－x·1－ax1＋x＝1－a2x21－x2＝1，化简得1－a2x2＝1－x2，∴a2＝1，解得a＝±1.当a＝－1时，f(x)＝1x＋log21－x1－x，则f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠1}，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当a＝1时，f(x)＝1x＋log21＋x1－x，满足题意，∴a＝1.答案：114．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”、“社会主义核心价值观”、“依法治国理念”、“中国戏剧”、“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是________．解析：由于知识竞赛有五个板块，所以共有C25＝10种结果，某参赛队从中任选2个主题作答，选中的结果为C14＝4种，则“中华诗词”主题被选中的概率为P(A)＝25.答案：2515．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝2acosB，且a＝2，b＝3，则△ABC的面积是_____．解析：由题意可知bcosC＋ccosB＝2acosB，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，即sin(B＋C)＝2sinAcosB，又在△ABC中，A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，即sinA＝2sinAcosB，又A∈(0，π)，所以sinA＞0，所以cosB＝12，又由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac·cosB，且a＝2，b＝3，整理得c2－2c－5＝0，解得c＝1＋6或c＝1－6(舍)，所以△ABC的面积为S＝12acsinB＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.答案：3＋32216．如图1为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲-7-珑娇美，巧夺天工，是唐代金银钿工的典范之作．该杯型几何体的主体部分可近似看作是由双曲线C：x23－y29＝1的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形MABQ绕y轴旋转一周得到的几何体，如图2，N，P分别为C的渐近线与y＝4，y＝－2的交点，曲边五边形MNOPQ绕y轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理(祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等)求得．据此求得该金杯的容积是________．(杯壁厚度忽略不计)图1图2解析：由双曲线C：x23－y29＝1，得x2＝3＋y23，由祖暅原理可知，金杯的容积与曲形四边形MABQ绕y轴旋转一周得到的几何体的体积相同，而曲形四边形MABQ绕y轴旋转一周得到的几何体的体积为V＝πx2dy＝π3＋y23dy＝π3y＋y39＝π12＋649－－6－89＝26π.∴金杯的容积是26π.答案：26π