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1西安中学高2020届高三第一次月考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则正确的是()A.B.C.D.2.已知函数的导函数为，且满足，则=（）A.B.C.1D.e3.若，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.4.设则等于()A.B.C.D.5.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动.在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数约为_________。(素数即质数，，结果四舍五入保留整数)A.768B.144C.767D.1456.下列大小关系正确的是()A.B.C.D.7.下列有关命题的说法正确的是（）2A.命题“若,则”的否命题为：“若,则”B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“,使得”的否定是：“,均有”D.命题“若,则”的逆否命题为真命题8.函数y=（2x-1）ex的图象是（）A.B.C.D.9.定义在上的奇函数满足，且在上，则=（）A.B.C.D.10.已知点满足，，，则的最大值为（）A.B.C.0D.不存在11.若f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex,则有()A.B.gC.D.g12.若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是()A.3B.4C.5D.6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）313.不等式的解集为____________；14.已知函数在上不单调，则k的取值范围是______；15.对于函数，部分和的对应关系如下表：123456789375961824数列满足：，且对于任意的，点都在函数的图像上，则___________；16.狄利克雷是19世纪德国著名的数学家，他定义了一个“奇怪的函数”，下列关于狄利克雷函数的叙述正确的有：___________。①的定义域为值域是②具有奇偶性，且是偶函数③是周期函数，但它没有最小正周期④对任意的，三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知点的横坐标分别为。（1）求的值；4（2）求的值。18.设函数.(1)画出函数的图像；(2)若不等式的解集非空，求实数得取值范围.519.设函数，曲线过点P（1，0），且在P点处的切线的斜率为2，（1）求的值；（2）证明：.20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.621.设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与C交于两点．求椭圆C的方程；设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．22.已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）记两个极值点为，且，当时，求证：不等式恒成立.7答案和解析123456DBCADC789101112DACADA13.【答案】14.【答案】．15.【答案】756916.【答案】①②③④17.【答案】解：（1）由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝，cosβ＝,因为α为锐角，故sinα0，从而sinα＝＝，同理可得sinβ＝;（2）.818.【答案】解：（1）由于f（x）=则函数y=f（x）的图象如图所示：（2）由题不等式,即有解.所以,又,（当取等号）所以,所以.得：.19.【答案】解：(1)f′(x)＝1＋2ax＋.由已知条件得即解得a＝－1，b＝3.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋＝－.当0x1时，g′(x)0；9当x1时，g′(x)0.所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．而g(1)＝0，故当x0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.20.【答案】解:(1)设,则由条件知.由于M点在上,所以即从而的参数方程为为参数)所以曲线的方程为;(2)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.射线与的交点A的极径为,射线与的交点B的极径为.所以.21.【答案】解：（1）设椭圆的右焦点为F1，则OM为AFF1的中位线，所以，所以,因为，所以,所以，所以椭圆C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）,10联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2-25=0,所以＞0，,所以，=,因为,所以,所以,整理得：3m2-m-10=0,解得：m=2或（舍去）,所以直线l过定点（0，2）．22.【答案】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx-ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，11故a的取值范围为;（2）证明：欲证等价于要证：1+λ＜lnx1+λlnx2，由（1）可知x1，x2分别是方程lnx-ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于要证明．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0所以在t∈（0，1）恒成立，所以原不等式成立．