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-1-2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量选题明细表知识点、方法题号向量的有关概念的判断1,3向量的表示及应用4,9,10,12相等向量与平行向量(共线向量)2,5,6,7,8,11,13基础巩固1.下列量可以比较大小的是(A)(A)长度(B)力(C)速度(D)位移解析:因长度只有大小没有方向,因此可以比较大小.故选A.2.(2018·三明市高一期末)设e1,e2是两个单位向量,则下列结论中正确的是(C)(A)e1=e2(B)e1∥e2(C)|e1|=|e2|(D)以上都不对解析:单位向量的模都等于1个单位,故C正确.3.下列命题:(1)若向量a=,b=,则|a|=|b|;(2)向量就是有向线段;(3)两向量相等,若起点相同,终点也相同;(4)若四边形ABCD为平行四边形,则=,=.其中正确命题的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:(1)正确,由于|a|=||=|AB|,|b|=||=|BA|=|AB|,因此有|a|=|b|.(2)不正确,有向线段只是向量的一种表示形式,但不能把两者等同起来;(3)正确,(4)不正确.如图:=,但≠.故选B.-2-4.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为(C)(A)一般的平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)等腰梯形解析:由=知四边形为平行四边形,由||=||知四边形ABCD为菱形.故选C.5.(2018·孝感市高一期中)两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为a和b,则下列说法中错误的是(D)(A)a与b为相反向量(B)a与b为模相等的向量(C)a与b为共线向量(D)a与b为相等的向量解析:对于A,两列火车从同一站台沿相反方向开去,即a和b为反向的共线向量,A正确;对于B,两列火车走了相同的路程,即a和b的模相等,B正确;对于C,两列火车从同一站台沿相反方向开去,即a和b为反向的共线向量,C正确;对于D,a和b为反向的共线向量,则a和b不相等,D错误.故选D.6.已知△ABC中,∠BAC=90°,O为△ABC的外心,则,,三个向量中,长度相等且共线的两个向量为.解析:如图所示,O为Rt△ABC的外心,所以||=||=||,共线且长度相等的有与.答案:与7.函数y=cosx,x∈[-,π]的图象上有五个点A(-,0),B(0,1),C(,0),D(π,-1),E(π,0).以上这五个点为起点和终点的向量中相等向量有组.-3-解析:作出y=cosx,x∈[-,π]的图象,如图所示.相等向量有=,=,=,=,=,=,=,=,共8组.答案:88.如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,四边形BCMF是平行四边形,请分别写出:(1)与模相等且共线的向量;(2)与相等的向量.解:(1)因为四边形BCMF是平行四边形,所以CM∥BF.因为D,E分别是BC,AC的中点,所以BF∥DE.又因为F是AB的中点,所以与向量模相等且共线的向量有,,,,,,.(2)由(1)的分析可知,与向量相等的向量有,,.能力提升9.在平面内已知点O固定,且||=2,则A点构成的图形是(C)(A)一个点(B)一条直线(C)一个圆(D)不能确定解析:由于||=2,所以A点构成一个以O为圆心,半径为2的圆.-4-10.已知向量a,b是两个非零向量,,分别是与a,b同方向的单位向量,则以下各式正确的是(D)(A)=(B)=或=(C)=(D)与的长度相等解析:因为a与b方向关系不确定且a≠0,b≠0,又与a同方向,与b同方向,所以与方向关系不确定,所以A,B,C均不对.又与均为单位向量,所以||=||=1.11.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=.解析:因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又因为m∥且m∥,所以m=0.答案:012.在直角坐标系中画出下列向量,使它们的起点都是原点O,并求终点的坐标.(1)|a|=2,a的方向与x轴正方向的夹角为60°,与y轴正方向的夹角为30°;(2)|a|=4,a的方向与x轴正方向的夹角为30°,与y轴正方向的夹角为120°;(3)|a|=4,a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.解:如图所示:-5-探究创新13.平行四边形ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合}.试求集合T中元素的个数.解:由题可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即=,=,=,=,=,=,=,=.又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个.