（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质学案 理 新人教A

-1-第1讲函数的图象与性质[做真题]题型一函数的概念及表示1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝1＋log2(2－x)，x1，2x－1，x≥1.则f(－2)＋f(log212)＝()A．3B．6C．9D．12解析：选C．因为－21，所以f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.因为log2121，所以f(log212)＝2log212－1＝122＝6.所以f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C．2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x0，则满足f(x)＋fx－121的x的取值范围是________．解析：当x≤0时，由f(x)＋f(x－12)＝(x＋1)＋(x－12＋1)＝2x＋321，得－14x≤0；当0x≤12时，f(x)＋f(x－12)＝2x＋(x－12＋1)＝2x＋x＋121，即2x＋x－120，因为2x＋x－1220＋0－12＝120，所以0x≤12；当x12时，f(x)＋f(x－12)＝2x＋2x－12212＋201，所以x12.综上，x的取值范围是(－14，＋∞)．答案：(－14，＋∞)题型二函数的图象及其应用1．(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()-2-解析：选D．因为f(－x)＝sin(－x)－xcos(－x)＋(－x)2＝－sinx＋xcosx＋x2＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；因为f(π)＝sinπ＋πcosπ＋π2＝π－1＋π20，所以排除C；因为f(1)＝sin1＋1cos1＋1，且sin1cos1，所以f(1)1，所以排除B．故选D．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数y＝2x32x＋2－x在[－6，6]的图象大致为()解析：选B．因为f(x)＝2x32x＋2－x，所以f(－x)＝－2x32－x＋2x＝－f(x)，且x∈[－6，6]，所以函数y＝2x32x＋2－x为奇函数，排除C；当x0时，f(x)＝2x32x＋2－x0恒成立，排除D；因为f(4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A．故选B．3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝1m(xi＋yi)＝()A．0B．mC．2mD．4m-3-解析：选B．因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝x＋1x＝1＋1x，所以函数y＝f(x)与y＝x＋1x的图象都关于点(0，1)对称，所以i＝1mxi＝0，i＝1myi＝m2×2＝m，故选B．题型三函数的性质及应用1．(2019·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．flog314f(2－32)f(2－23)B．flog314f(2－23)f(2－32)C．f(2－32)f(2－23)flog314D．f(2－23)f(2－32)flog314解析：选C．根据函数f(x)为偶函数可知，f(log314)＝f(－log34)＝f(log34)，因为02－322－2320log34，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(2－32)f(2－23)f(log314)．故选C．2．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]解析：选D．因为函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3，故选D．3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50解析：选C．因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且一个周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，所以f(1)-4-＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C．[明考情]1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题的形式考查，一般出现在第5～10题或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2．此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新型问题结合命题，难度较大．函数及其表示[考法全练]1．函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是()A．(2，3)B．(2，＋∞)C．(3，＋∞)D．(2，3)∪(3，＋∞)解析：选D．由题意得2x－40，x－3≠0，解得x2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D．2．已知f(x)＝log3x，x0，ax＋b，x≤0(0a1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2B．2C．3D．－3解析：选B．由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5.①f(－1)＝a－1＋b＝3，②联立①②，结合0a1，得a＝12，b＝1，所以f(x)＝log3x，x0，12x＋1，x≤0，则f(－3)＝12－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B．3．已知函数f(x)＝2(1－x)，0≤x≤1，x－1，1x≤2，如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝-5-，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．3解析：选C．因为f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2019(2)＝f3×672＋3(2)＝f3(2)＝2.4．已知函数f(x)＝(1－2a)x＋3a，x1，2x－1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是________．解析：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，因为函数f(x)＝(1－2a)x＋3a，x1，2x－1，x≥1的值域为R.所以当x1时，y＝(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则1－2a01－2a＋3a≥1，解得0≤a12.答案：0，125．已知函数f(x)＝－x＋1，x0，x－1，x≥0，则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是________．解析：当x＋10，即x－1时，f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x，不等式变为x－x(x＋1)≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈(－∞，－1)．当x＋1≥0，即x≥－1时，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，不等式变为x＋x(x＋1)≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－2≤x≤－1＋2，故x∈[－1，－1＋2]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋2]．答案：(－∞，－1＋2](1)函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程-6-利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数的图象及其应用[典型例题]命题角度一函数图象的识别(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()(2)已知定义域为[0，1]的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(－x＋1)的图象可能是()(3)(一题多解)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为关于x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为()-7-【解析】(1)当x0时，因为ex－e－x0，所以此时f(x)＝ex－e－xx20，故排除A、D；又f(1)＝e－1e2，故排除C，选B．(2)因为f(－x＋1)＝f(－(x－1))，先将f(x)的图象沿y轴翻折，y轴左侧的图象即为f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f(－x＋1)的图象，故选B．(3)法一：当点P位于边BC上时，∠BOP＝x，0≤x≤π4，则BPOB＝tanx，所以BP＝tanx，所以AP＝4＋tan2x，所以f(x)＝tanx＋4＋tan2x0≤x≤π4，可见y＝f(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C．当点P位于边CD上时，∠BOP＝x，π4≤x≤3π4，则BP＋AP＝BC2＋CP2＋AD2＋DP2＝1＋1－1tanx2＋1＋1＋1tanx2.当点P位于边AD上时，∠BOP＝x，3π4≤x≤π，则APOA＝tan(π－x)＝－tanx，所以AP＝－tanx，所以BP＝4＋tan2x，所以f(x)＝－tanx＋4＋tan2x3π4≤x≤π，根据函数的解析式可排除D，故选B．法二：当点P位于点C时，x＝π4，此时AP＋BP＝AC＋BC＝1＋5，当点P位于CD的中点时，x＝π2，此时AP＋BP＝221＋5，故可排除C，D，当点P位于点D时，x＝3π4，此时AP＋BP＝AD＋BD＝1＋5，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故可排除A，故选B．【答案】(1)B(2)B(3)B(1)由函数解析式识别函数图象的策略-8-(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择．③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．命题角度二函数图象的应用(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，则m的取值范围是()A．－∞，94B．－∞，73C．－∞，52D．－∞，83【解析】(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x0，作出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．(2)当－1x≤0时，0x＋1≤1，则f(x)＝1