2019-2020学年新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积（第2课

-1-第2课时球的体积和表面积考点学习目标核心素养球的表面积与体积记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积数学运算与球有关的组合体能解决与球有关的组合体的计算问题数学运算、直观想象问题导学预习教材P117－P119的内容，思考以下问题：1．球的表面积公式是什么？2．球的体积公式什么？1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝43πR3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)决定球的大小的因素是球的半径．()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．()(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝R3S.()答案：(1)√(2)√(3)√半径为3的球的体积是()-2-A．9πB．81πC．27πD．36π解析：选D.V＝43π×33＝36π.若一个球的直径为2，则此球的表面积为()A．2πB．16πC．8πD．4π解析：选D．因为球的直径为2，所以球的半径为1，所以球的表面积S＝4πR2＝4π.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍B．22倍C.2倍D.32倍解析：选B．设原球的半径为R，表面积扩大2倍，则半径扩大2倍，体积扩大22倍．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．解析：设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，36π20π＝95.答案：95球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()-3-A．17πB．18πC．20πD．28π【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.【答案】(1)B(2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．解析：设此球的半径为R，则4πR2＝43πR3，R＝3.答案：32．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．解析：设大、小两球半径分别为R，r，则R－r＝1，4πR2－4πr2＝28π，所以R＝4，r＝3.所以体积和为43πR3＋43πr3＝364π3.答案：364π3球的截面问题-4-如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3cm3D.2048π3cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，所以R＝5，所以V球＝43π×53＝5003π(cm3)．【答案】A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63π解析：选B.如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1.所以OM＝（2）2＋1＝3.即球的半径为3.所以V＝43π(3)3＝43π.-5-与球有关的切、接问题角度一球的外切正方体问题将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】A角度二球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.【答案】14π角度三球的内接正四面体问题若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，由题意2R＝3x＝3×2a2＝62a，所以S球＝4πR2＝32πa2.角度四球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－r22＝3r2，高为3r2.该圆锥的体积为13×π×3r22×3r2＝38πr3，球体积为43πr3，所以该-6-圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.【答案】932或332角度五球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a．如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以球的半径R＝OA满足R2＝33a2＋12a2＝712a2，故S球＝4πR2＝73πa2.【答案】B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝12a2＋b2＋c2，如图(2)．(3)正四面体的外接球-7-正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝62a.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥里内切球的体积．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB内接于⊙O，而⊙O1内切于△SAB.设⊙O的半径为R，则有43πR3＝972π，所以R3＝729，R＝9.所以SE＝2R＝18.因为SD＝16，所以ED＝2.连接AE，又因为SE是直径，所以SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，所以SA＝122.因为AB⊥SD，所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，所以AD＝42.所以S圆锥侧＝π×42×122＝96π.(2)设内切球O1的半径为r，因为△SAB的周长为2×(122＋42)＝322，所以12r×322＝12×82×16.所以r＝4.所以内切球O1的体积V球＝43πr3＝2563π.1．直径为6的球的表面积和体积分别是()A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36πD．144π，144π解析：选B．球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝43π·33＝36π.2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是()-8-A.6π6B.π2C.2π2D.3π2π解析：选A．设正方体棱长为a，球半径为R，由6a2＝4πR2得aR＝2π3，所以V1V2＝a343πR3＝34π2π33＝6π6.3．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为()A．1B．2C．3D．4解析：选A．设两球的半径分别为R，r(Rr)，则由题意得4π3R3＋4π3r3＝12π，2πR＋2πr＝6π，解得R＝2，r＝1.故R－r＝1.4．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________．解析：设球O的半径为r，则43πr3＝23，解得r＝36π.答案：36π5．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，设球的半径为R.因为O′A＝23×32×2＝233.在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝2332＋14R2，所以R＝43，-9-所以S球＝4πR2＝649π.[A基础达标]1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为()A．2∶3B．4∶9C.2∶3D.8∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r，R，则43πr3∶43πR3＝r3∶R3＝8∶27，所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S的值是()A．4πB．32C．24D．12π解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a2＝16，所以a2＝163，正方体的表面积S＝6a2＝6×163＝32.3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.32π3B.8π3C．82πD.82π3解析：选D.设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2，所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D.4．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()A.rh2B.r2h4C.3r2h4D.r2h2解析：选C.设铁球的半径为R，因为13πr2h＝43πR3，-10-所以R＝3r2h4.5．已知A，B是球O的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．当三棱锥O­ABC的体积取得最大值时，则过A，B，C三点的截面的面积为()A．6πB．12πC．18πD．36π解析：选A.因为O为球心，∠AOB＝90°，所以截面AOB为球大圆，所以当动点C满足OC⊥平面OAB时，三棱锥O­ABC的体积最大，此时，OA＝OB＝OC＝R＝3，则AB＝AC＝BC＝32，所以截面ABC的圆心O′为△ABC的中心，所以圆O′的半径r＝O′C＝32×33＝6，所以截面ABC的面积为π×(6)2＝6π，故选A.6．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．解析：球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为32＋42＋52＝52，外接球的半径为522.外接球的表面积为4π5222＝50π.答案：50π7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表