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16.2垂直关系的性质[学习目标]1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.【主干自填】1．直线与平面垂直的性质定理2．平面与平面垂直的性质定理3．平面与平面垂直的其他性质2(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点□08垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面□09垂直于另一个平面．(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线□10平行于另一个平面或在另一个平面内．【即时小测】1．思考下列问题(1)一般地，如果直线a⊥α，直线b⊥α，这时，a和b平行吗？你能给出证明吗？提示：a和b平行．证明如下：如图，假定a和b不平行．设a⊥α，b⊥α，垂足分别为A，B.过点B作a的平行线b′，由异面直线垂直的定义，b′与平面α内过点A的任意直线都垂直，也即有b′⊥α，b∩b′＝B，故直线b与b′确定一个平面，记为β，且记α∩β＝l，在平面β内，过点B有且仅有一条直线垂直于l，故b′与b重合，a与b平行．(2)一般地，平面α⊥β，α∩β＝MN，ABβ，AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？你能给出证明吗？提示：直线AB和平面α垂直．证明如下：如图，在平面α内作直线BC⊥MN，则∠ABC是二面角α－MN－β的平面角，因为平面α⊥平面β，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC，又已知AB⊥MN，从而AB⊥α.2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定提示：C因为l⊥AB，l⊥AC，ABα，ACα，且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可3证m⊥α，所以l∥m.3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为()①m∥nm⊥α⇒n⊥α；②m⊥αn⊥α⇒m∥n；③m⊥αn∥α⇒m⊥n;④m∥αm⊥n⇒n⊥α.A．1B．2C．3D．4提示：C①②③正确，④中n与平面α可能有：n⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α)．4．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的投影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．不能确定提示：A由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥平面ABC1，又AC平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在底面ABC上的投影H必在交线AB上．例1如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，4所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.[变式训练1]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1，B1C，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，5∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.例2已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[证明](1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F，平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又PA平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥AP，DG、DF都在平面ABC内且交点为D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长，交PC于点H.∵E点是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．类题通法面面垂直性质定理的转化面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．[变式训练2]如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.6(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明(1)连接PG，BD.由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD.∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.例3如图，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK.求证：(1)平面SBC⊥平面KBD；(2)平面SBC不垂直于平面SDC.[证明](1)连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.7又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面KBD.又SC平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.(2)假设平面SBC⊥平面SDC.∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，又AB∥CD，∴BK⊥AB.∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面SBC，又SB平面SBC，∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立．∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.类题通法垂直性质的应用常见方法线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑判定定理．[变式训练3]如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又PA∩AD＝D，∴BC⊥平面PAB.8又AB平面PAB，∴BC⊥AB.易错点⊳对面面垂直的性质定理理解错误[典例]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC＝90°，∠PBA≠90°.求证：平面PBC⊥平面PAB.[错解]∵∠PBC＝90°，平面PAB⊥平面ABCD，∴BC⊥平面PAB.∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.[错因分析]面面垂直的性质定理应用错误，由平面PAB⊥平面ABCD得出线面垂直，必须是在其中一个平面内作交线(AB)的垂线，该垂线与另一个平面垂直．[正解]过点P作PH⊥AB于点H.∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴PH⊥平面ABCD.∵BC平面ABCD，∴BC⊥PH.∵∠PBC＝90°，∴BC⊥PB.而∠PBA≠90°，于是点H与点B不重合，即PB∩PH＝P.∵PB，PH平面PAB，∴BC⊥平面PAB.∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.课堂小结1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归与转化思想，其转化关系如下：91．下列说法正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行答案C解析垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能异面，故A、B错误；由线面垂直的性质定理知C正确；D中这条直线可能在平面内，故D错误．故选C.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ答案A解析∵m⊥γ，mα，lγ，∴α⊥γ，m⊥l；B错，有可能mβ或m与β相交；C错，有可能mβ或m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．设α－l－β是直二面角，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么()A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行答案C解析当a，b都与l平行时，则a∥b，所以A、D错；如图，若a⊥b，过a上一点P在α内作a′⊥l，因为α⊥β，所以a′⊥β，又bβ，∴10a′⊥b，∴b⊥α，而lα，∴b⊥l，与b和l不垂直矛盾，所以B错．4．如图在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.答案5解析∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝5.