（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第3讲 基本

-1-第3讲基本初等函数、函数与方程及函数应用[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．基本初等函数的图象与性质第5题江苏高考对初等函数的考查主要载体是二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数，多为中档题；考查函数性质的简单综合运用，此类试题对恒等变形、等价转化的能力有一定的要求，函数与方程、分类讨论、数形结合的数学思想通常会有所体现．函数实际应用题也是高考热点，常以求最值为问题归宿．2．函数与方程第14题第14题3．函数模型第17题1．必记的概念与定理指数函数、对数函数和幂函数的图象及性质(1)指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象和性质，分0a1，a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．(2)幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，当α0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；α0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．曲线在第一象限的凹凸性：α1时，曲线下凸；0α1时，曲线上凸；α0时，曲线下凸．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．记住几个常用的公式与结论(1)对数式的五个运算公式loga(MN)＝logaM＋logaN；logaMN＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝logbNlogba．(a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0)提醒：logaM－logaN≠loga(M－N)，logaM＋logaN≠loga(M＋N)．(2)与二次函数有关的不等式恒成立问题-2-①ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0．②ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0．3．需要关注的易错易混点(1)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．(2)解函数应用题常见的错误：①不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；②在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．基本初等函数的图象与性质[典型例题](1)已知a＞b＞1．若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________．(2)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．【解析】(1)由于a＞b＞1，则logab∈(0，1)，因为logab＋logba＝52，即logab＋1logab＝52，所以logab＝12或logab＝2(舍去)，所以a12＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4．(2)由于a0，b0，ab＝8，所以b＝8a．所以log2a·log2(2b)＝log2a·log216a＝log2a·(4－log2a)＝－(log2a－2)2＋4，当且仅当log2a＝2，即a＝4时，log2a·log2(2b)取得最大值4．【答案】(1)42(2)4指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．[对点训练]1．(2019·南通市高三模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________．-3-[解析]将(－3，0)，(0，－2)分别代入解析式得loga(－3＋b)＝0，logab＝－2，解得a＝12，b＝4，从而a＋b＝92．[答案]922．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是________．[解析]作出函数y＝log2(－x)及y＝x＋1的图象．其中y＝log2(－x)及y＝log2x的图象关于y轴对称，观察图象(如图所示)知，－1x0，即x∈(－1，0)．也可把原不等式化为－x0，－x2x＋1后作图．[答案](－1，0)函数与方程[典型例题](1)设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cosπx|－f(x)在区间－12，32上零点的个数为__________________________．(2)(2019·高考江苏卷)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0，2]时，f(x)＝1－（x－1）2，g(x)＝k（x＋2），0x≤1，－12，1x≤2，其中k0．若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________．【解析】(1)由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称．由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，所以f(x)在[－1，2]上的图象如图．-4-令g(x)＝|cosπx|－f(x)＝0，得|cosπx|＝f(x)，两函数y＝f(x)与y＝|cosπx|的图象在－12，32上的交点有5个．(2)当x∈(0，2]时，令y＝1－（x－1）2，则(x－1)2＋y2＝1，y≥0，即f(x)的图象是以(1，0)为圆心、1为半径的半圆，利用f(x)是奇函数，且周期为4，画出函数f(x)在(0，9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数g(x)(x∈(0，9])的图象，如图，关于x的方程f(x)＝g(x)在(0，9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g(x)(x∈(0，1])与f(x)(x∈(0，1])的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线y＝k(x＋2)经过点(1，1)时，k＝13，当直线y＝k(x＋2)与半圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)相切时，|3k|k2＋1＝1，k＝24或k＝－24(舍去)，所以k的取值范围是13，24．【答案】(1)5(2)13，24判断函数零点个数的方法(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[对点训练]3．(2019·南京四校高三联考)已知周期为4的函数f(x)＝1－x2，x∈（－1，1]1－|x－2|，x∈（1，3]，则方程3f(x)＝x的根的个数为________．[解析]作出函数y＝f(x)的图象及直线y＝x3如图所示，则两个图象的交点个数为3，即-5-方程的根的个数为3．[答案]34．(2019·苏州市高三调研)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3，3b＝2，则n＝________．[解析]f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．设y1＝ax，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，由2a＝3，3b＝2，得a1，0b1．可知f(x)为增函数．当x＝－1时，y1＝1a＝log32y2＝1＋b＝1＋log32，当x＝0时，y1＝a0＝1＞y2＝b，所以－1x00，所以n＝－1．[答案]－1函数模型[典型例题](2018·高考江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解】(1)设PO的延长线交MN于H，则PH⊥MN，所以OH＝10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，-6-故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ·(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，△CDP的面积为12×2×40cosθ(40－40sinθ)＝1600(cosθ－sinθcosθ)．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK＝KN＝10．连结OG，令∠GOK＝θ0，则sinθ0＝14，θ0∈0，π6．当θ∈θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是14，1．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k0)，则年总产值为4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1600(cosθ－sinθcosθ)＝8000k(sinθcosθ＋cosθ)，θ∈θ0，π2．设f(θ)＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈θ0，π2，则f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)·(sinθ＋1)．令f′(θ)＝0，得θ＝π6，当θ∈θ0，π6时，f′(θ)0，所以f(θ)为增函数；当θ∈π6，π2时，f′(θ)0，所以f(θ)为减函数，因此，当θ＝π6时，f(θ)取到最大值．应用函数模型解决实际问题的一般程序是：-7-读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练]5．(2019·江苏省四星级学校联考)某品牌开发了一种新产品，欲在沿海城市寻找一个工厂代理加工生产该新产品，由于该新产品的专利保护要求比较高，某种核心配件只能从总公司购买并且由总公司统一配送，该厂每天需要此核心配件200个，配件的价格为1．8元/个，每次购买配件需支付运费236元．每次购买来的配件还需支付保密费用(若n天购买一次，则需要支付n天的保密费用)，其标准如下：7天以内(含7天)，均按10元/天支付；7天以外，根据当天还未生产时剩余配件的数量，以每天0．03元/个支付．(1)当9天购买一次配件时，求该厂用于配件的保密费用p(元)的值；(2)设该厂x天购买一次配件，求该厂在这x天中用于配件的总费用y(元)关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配件才能使平均每天支付的费用最少．[解](1)当9天购买一次配件时，该厂用于配件的保密费用p＝70＋0．03×200×(2＋1)＝88(元)．(2)①当0＜x≤7时，y＝1．8×200x＋10x＋236＝370x＋236．②当x＞7时，y＝1．8×200x＋236＋70＋200×0．03×[(x－7)＋(x－8)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432，所以y＝370x＋236，0＜x≤7且x∈N*3x2＋321x＋432，x＞7