2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和

-1-2.2.1综合法和分析法1．直接证明从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：一般地，利用□01已知条件和某些数学□02定义、□03定理、□04公理等，经过一系列的□05推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1Q1⇒Q2Q2⇒Q3…Qn⇒Q3．分析法定义：一般地，从要证明的□06结论出发，逐步寻求使它成立的□07充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(□08已知条件、□09定理、□10定义、□11公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1P1⇐P2P2⇐P3…得到一个明显成立的条件综合法与分析法的比较-2-1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)分析法的推理过程要比综合法优越．()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)证明不等式a＋1－aa－1－a－2(a≥2)成立所用的最适合的方法是________．(2)在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0所以a2＋b2≥2ab，该证明用的方法是________．(3)角A，B为△ABC内角，AB是sinAsinB的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”)．答案(1)分析法(2)综合法(3)充要探究1综合法的应用例1已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.[证明]证法一：∵a，b是正数，且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.证法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab0，1a＋1b≥21ab0，-3-∴(a＋b)1a＋1b≥4.又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.证法三：1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．[结论探究]本例已知条件不变，求证：a＋1ab＋1b≥254.[证明]∵a＋b＝1，a0，b0，∴a＋b≥2ab，∴0ab≤14，∴a＋1ab＋1b－254＝a2＋1a·b2＋1b－254＝4a2b2－33ab＋84ab＝1－4ab8－ab4ab≥0.∴a＋1ab＋1b≥254.拓展提升利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．【跟踪训练1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.求证：B－C＝π2.证明由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a及正弦定理得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，即sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.又0B，C3π4，所以B－C＝π2.探究2分析法的应用例2设a，b为实数，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．-4-[证明](1)当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2≥22(a＋b)．(2)当a＋b0时，用分析法证明如下：要证a2＋b2≥22(a＋b)，只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2，即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab，∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．拓展提升(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．【跟踪训练2】在锐角三角形ABC中，用分析法证明：tanA·tanB＞1.证明要证明tanA·tanB＞1，只需证明sinA·sinBcosA·cosB＞1.因为A，B为锐角，所以cosA＞0，cosB＞0.只需证明cosA·cosB＜sinA·sinB，只需证明cosA·cosB－sinA·sinB＜0，即cos(A＋B)＜0.因为C为锐角，且A＋B＝π－C，所以A＋B为钝角，所以cos(A＋B)＜0成立，所以tanA·tanB＞1.探究3综合法与分析法的综合应用例3已知a，b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.[证明]证法一：(分析法)要证ab＋ba≥a＋b，-5-只要证aa＋bb≥ab(a＋b)，即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥2ab.显然a＋b≥2ab成立，故ab＋ba≥a＋b.证法二：(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x＋1x≥2(x0)使左边向整式型过渡)方法一：∵ab＋b＋ba＋a≥2ab·b＋2ba·a＝2a＋2b，当且仅当a＝b时取等号，∴ab＋ba≥a＋b.方法二：∵ab＋ba(a＋b)＝a＋b＋aab＋bba≥a＋b＋2aab·bba＝a＋b＋2ab＝()a＋b2，当且仅当a＝b时取等号，∴ab＋ba≥a＋b.拓展提升实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．【跟踪训练3】已知a，b，c是互不相等的正实数，求证：b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3.证明证法一：(分析法)要证b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3，只需证明ba＋ca－1＋cb＋ab－1＋ac＋bc－13，即证ba＋ca＋cb＋ab＋ac＋bc6，而事实上，由a，b，c是互不相等的正实数，∴ba＋ab2，ca＋ac2，cb＋bc2，∴ba＋ca＋cb＋ab＋ac＋bc6，-6-∴b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3得证．证法二：(综合法)∵a，b，c不相等，∴ba与ab，ca与ac，cb与bc不相等．∴ba＋ab2，ca＋ac2，cb＋bc2.三式相加得ba＋ca＋cb＋ab＋ac＋bc6，∴ba＋ca－1＋cb＋ab－1＋ac＋bc－13，即b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3.1.综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种“由因到果”的证明方法.2.分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判断条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……结论成立”.3.有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为分析综合法．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系．分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.1．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小顺序是()A．abcB．bcaC．cabD．acb答案A解析a＝13＋2，b＝16＋5，c＝17＋6，∵03＋26＋57＋6，∴13＋216＋517＋6，-7-∴abc.2．若a1,0b1，则下列不等式中正确的是()A．ba1B．ab1C．logba0D．logab0答案D解析∵a1,0b1，∴f(x)＝bx为R上的减函数．∴f(a)＝bab1.同理ab1，logba0，logab0.3．当a∈________时，函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数．答案(－∞，6]解析因为f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数，所以a－1≤5，解得a≤6.4．设a0，b0，c0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．答案9解析根据条件可知，欲求1a＋1b＋1c的最小值．只需求(a＋b＋c)1a＋1b＋1c的最小值，因为(a＋b＋c)·1a＋1b＋1c＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．5．设a0，b0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋1ab≥8.证明∵a0，b0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2ab，∴1ab≥4.∴1a＋1b＋1ab＝(a＋b)1a＋1b＋1ab≥2ab·2·1ab＋4＝8(当且仅当a＝b时取“＝”号)．∴1a＋1b＋1ab≥8.