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14.2空间图形的公理(二)[学习目标]1.掌握公理4及等角定理．2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.【主干自填】1．公理4(1)文字表述：□01平行于同一直线的两条直线互相平行．(2)符号表述：□02a∥b且b∥c⇒a∥c.(3)含义：揭示了空间平行线的□03传递性．2．等角定理(1)研究对象：在空间中的两个角．(2)条件：两边分别□04对应平行．(3)结论：这两个角□05相等或互补．3．异面直线所成的角【即时小测】1．思考下列问题(1)两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．(2)公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．22．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行提示：C如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1，AD相交，与BC异面．3．空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________.提示：60°或120°因为α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补．例1如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.[证明](1)如题图，在△ABD中，∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，EH＝12BD.又FG是△CBD的中位线，∴FG∥BD，FG＝12BD，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，∴四边形EFGH是平行四边形．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.类题通法空间中证明两直线平行的方法3(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等．(2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行．[变式训练1]已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．证明连接AC.∵M，N为CD，AD的中点，∴MN綊12AC.由正方体性质可知AC綊A′C′，∴MN綊12A′C′.∴四边形MNA′C′是梯形.例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠F1CE1.[证明]如图，取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1綊BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，所以BM∥CF1.4因为A1M＝12A1B1，BE＝12AB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BM∥A1E，所以A1E∥CF1.同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F的两边与∠F1CE1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠F1CE1.类题通法求证两角相等的两种方法(1)应用等角定理，在证明的过程中常用到公理4，注意两角对应边方向的讨论．(2)应用三角形全等或相似．[变式训练2]长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：(1)D1E∥BF；(2)∠B1BF＝∠D1EA1.证明(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，5∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.例3如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解]解法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.解法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊12DB1.6于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，则EF＝22，HE＝32，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF.∴HF2＝HI2＋IF2＝54.又∵EF2＋HE2＝54，∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.类题通法求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质)作出异面直线所成的角或其补角．(2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角．(3)计算：求角度，常利用三角形．(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．[变式训练3]如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．解如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG.7∵E、F分别为BC、AD的中点，∴EG綊12CD，GF綊12AB，∴∠GFE或其补角就是异面直线EF与AB所成的角．∵AB⊥CD，∴EG⊥GF，∴∠EGF＝90°.∵AB＝CD，∴EG＝GF，∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即异面直线EF与AB所成的角为45°.易错点⊳不能从空间考虑图形致误[典例]在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD是异面直线C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[错解]如图，∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.故选A.[错因分析]错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内，考虑问题不全面．[正解]D构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(1))；(2)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(2))；(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使∠ABC＝∠BCD.8由(1)知AB∥CD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线．课堂小结1.平行公理又称平行线的传递性，它表明空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行．它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为联系两条直线的中间环节.2.要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件.1．空间四边形的两条对角线长度相等，顺次连接四条边的中点得到的四边形是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案C解析因为空间四边形的两条对角线长度相等，所以根据三角形中位线的性质可知，得到的四边形的四条边相等且对边互相平行，故选C.2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条答案A解析我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．满足条件的直线有无数条，故选A.3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与9B1D1所成的角为________．答案60°解析连接BC1，BD，DC1，因为EF∥BC1，B1D1∥BD，所以∠C1BD即为异面直线EF与B1D1所成的角或其补角．因为△C1BD为正三角形，所以∠C1BD＝60°，即异面直线EF与B1D1所成的角为60°.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．答案13解析设棱长为1，因为A1B1∥C1D1，所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角或其补角．在△AED1中，cos∠AED1＝D1EAE＝1232＝13.故异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为13.