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-1-1.7相关性[航向标·学习目标]1．通过收集现实问题中两个相关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的相关关系．2．根据散点图对线性相关关系进行直线拟合，从而对总体进行估计．3．体会变量间的相关关系，激发学生的探索欲望与学生的学习积极性．[读教材·自主学习]1．函数关系：变量之间的函数关系是一种□01确定的关系，当自变量x的值确定之后，都有□02唯一的y值与之对应，这种关系是一种理想的关系模型．2．相关关系：变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的□03确定性，它们的关系是带有□04随机性的．3．散点图：在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的□05点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图．通常称这种图为变量之间的散点图．4．曲线拟合：从散点图上可以看出，如果变量之间存在着□06某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的□07曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．5．线性相关：若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条□08直线附近波动，称变量间是线性相关的．6．非线性相关：若所有点看上去都在某条□09曲线(不是一条直线)附近波动，则称变量间是非线性相关的．7．不相关：如果所有的点在散点图中没有显示□10任何关系，则称变量间是不相关的．[看名师·疑难剖析]1．相关关系和函数关系的异同点(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新词并不能使-2-脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他的阅读能力会提高，而且由于长大，脚也变大．2．两个随机变量x和y之间相关关系的确定方法(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．3．相关关系的分析方向由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用，我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断．考点一相关性的判断例1下列关系中，是相关关系的有________．①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系[分析]依据相关关系的定义判断．[解析]①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；③人的身高与年龄之间的关系是相关关系；④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②③④.[答案]②③④类题通法相关关系与函数关系的区别在于是否具有确定性.在区分二者时，如果一个变量每取一个值，另一个变量总有唯一确定的值与之对应，那么这两个变量就是函数关系，不是相关关系；如果一个变量每取一个值，另一个变量的取值带有一定的随机性，可能有两个值与之对应，并且从总体上来看有关系，但是不是确定性关系，那么这两个变量之间就是相关关系，不是函数关系.确定相关关系时有时要依靠生活经验来判断.[变式训练1]下列两个变量中具有相关关系的是()A．正方体的体积与边长-3-B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C．人的身高与体重D．人的身高与视力答案C解析函数关系是一种确定的关系，而相关关系则是一种不确定的关系．选项A、B为函数关系，C是相关关系，D则无任何关系.考点二利用散点图进行相关关系的判断例2下列图形中具有线性相关关系的两个变量是()[解析]A和B符合函数关系，即对x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应；从C、D散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有线性相关关系，且为负相关关系．[答案]D类题通法此题是一数形结合题，应首先通过图形区别是否具有相关关系，然后再确定是否属于线性相关关系.如果概念不清，容易错选A.[变式训练2]对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图甲；对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图乙．由这两个散点图可以判断()-4-A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案C解析由甲可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由图乙可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．[例](12分)在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y(μm)与腐蚀时间x(s)之间具有线性关系，可用拟合直线方程y＝0.3x＋5.6来近似表示，试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多少？(一)精妙思路点拨(二)分层规范细解因为腐蚀深度与腐蚀时间线性相关，腐蚀时间为100s时也符合方程y＝0.3x＋5.6①，6分所以腐蚀深度y＝0.3×100＋5.6＝35.6(μm)，10分即腐蚀深度大约是35.6μm②.12分-5-(三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见分层规范细解过程)(四)类题练笔掌握某品牌服装的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下的对应数据：广告费支出x246810销售额y64138205285360(1)试画出散点图，并判断广告费x与销售额y是否具有线性相关关系；(2)若取过点(2,64)和点(8,285)的直线作为拟合直线方程，试预测当x＝10和15时销售额y的值是多少？解(1)根据题中数据画出散点图如下：观察散点图，可以发现5个样本点从整体上看大致在一条直线附近，所以变量x，y之间具有线性相关关系．-6-(2)过点(2,64)和(8,285)的直线方程是221x－6y－58＝0.令x＝10，则221×10－6y－58＝0，∴y≈358.7；令x＝15，则221×15－6y－58＝0，∴y≈542.8，即当x＝10时，销售额y的值大约是358.7万元，当x＝15时，销售额y的值大约是542.8万元．(五)解题设问(1)如何画散点图？类似于函数图象的画法——________.(2)如何判断两个变量是否线性相关？观察散点图中的样本点是否分布在________的附近．(3)求预测值y的方法是什么？把________代入拟合直线方程计算可得．答案(1)描点法(2)某条直线(3)x的值1．下列两个变量间的关系，是相关关系的是()A．任意实数和它的平方B．圆半径和圆的面积C．正多边形的边数和内角度数之和D．天空中的云量和下雨答案D解析很明显A、B、C都是函数关系；根据生活经验，天空中的云量和下雨之间不是确定性关系，虽然有云彩不一定下雨，但是如果没有云彩一定不下雨，这说明它们之间是相关关系．2．两个变量之间的相关关系是一种()A．确定性关系B．线性关系C．非确定性关系D．非线性关系答案C3．下列选项中的两个变量具有相关关系的是()-7-答案B4．与函数关系不同，相关关系是一种________关系，从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________，反之两个相关关系称为________．答案不确定性'正相关'负相关5．有5个学生的数学和物理成绩如下表：判断学生的数学与物理成绩是否有相关关系．解把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点(xi，yi)(i＝1,2，…，5)，作出散点图如下图：从图中可以看出各点基本上在一条直线附近，所以数学成绩与物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也由小变大，即它们正相关．