2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.

-1-第1课时函数的表示法(教师独具内容)课程标准：1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.通过实例了解分段函数的概念.3.掌握求函数解析式的常见方法．教学重点：1.函数的三种表示方法.2.根据条件求函数的解析式．教学难点：用解析法和图象法表示分段函数.【知识导学】知识点一函数的表示法(1)解析法：□01用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．(2)列表法：□02列出表格来表示两个变量之间的对应关系．(3)图象法：□03用图象表示两个变量之间的对应关系．知识点二描点法作函数图象的三个步骤(1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来．(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来．(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来．知识点三分段函数的概念如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为□01分段函数．【新知拓展】1．函数三种表示法的几点说明(1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域．(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去．(3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象．2．分段函数的特点(1)分段函数是一个函数，并非几个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集．-2-(3)分段函数的值域是各段值域的并集．(4)分段函数的图象要分段来画．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)分段函数是几个函数，而不是一个函数．()(4)函数的图象可以是一条水平直线．()(5)函数y＝1－|x|的图象如图．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．做一做(1)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()A．1B．2C．3D．不存在(2)函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)(3)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，f(x)的解析式为________．-3-(4)已知函数f(x)＝x＋5，x≥4，x－2，x4，则f(3)＝________.(5)已知f(x)＝x2，x≤0，4x，x0，若f(x0)＝4，则x0＝________.答案(1)C(2)C(3)f(x)＝－18x(4)1(5)－2或1题型一函数的表示法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y(单位：元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[解](1)列表法：(2)图象法：如图所示．(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．金版点睛理解函数的表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操-4-作中，仍以解析法为主．[跟踪训练1]已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则f[g(1)]的值为________；当g[f(x)]＝2时，x＝________.答案11解析由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1；由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.题型二函数图象的作法及应用例2作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]；(3)y＝1x，0x1，2x，x≥1；(4)y＝|x＋1|＋|x－3|.[解](1)列表：画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分(图①)，观察图象可知其-5-值域为(0,1]．(2)列表：画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图②)．由图可得函数的值域是[－1,8]．(3)函数y＝1x，0x1，2x，x≥1的图象如图③所示，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．(4)将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数为y＝－2x＋2，x≤－1，4，－1x≤3，2x－2，x3的图象如图④所示．观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．金版点睛作函数图象的方法(1)若函数是一次函数、二次函数、反比例函数等，则可根据函数图象特征描出图象上的-6-几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．2若函数是复合函数，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出函数的图象.3对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.4作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，可先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.[跟踪训练2]作出下列函数图象，并求其值域：(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x3)；(3)y＝2x(－2≤x≤1，且x≠0)．解(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1,0,1,2}．所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．由图象可知，y∈[－5,3)．(3)用描点法可以作出函数的图象如图③.由图可知y＝2x(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞).题型三求函数的解析式例3(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式；(2)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(x)的解析式；(3)已知函数y＝f(x)满足f(x)＋2f1x＝x，求函数y＝f(x)的解析式；-7-(4)设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．[解](1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.∴k2＝9，kb＋b＝4，解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2.∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.(2)解法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.解法二(配凑法)：因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.(3)在已知等式中，将x换成1x，得f1x＋2f(x)＝1x，与已知方程联立，得fx＋2f1x＝x，f1x＋2fx＝1x，解得f(x)＝－x3＋23x.(4)解法一：由已知条件得f(0)＝1，又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，设y＝x，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，所以f(x)＝x2＋x＋1.解法二：令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，即f(－y)＝1－y(－y＋1)，将－y用x代换得f(x)＝x2＋x＋1.金版点睛函数解析式的求法求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等．(1)配凑法：将形如f[g(x)]的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2.(2)换元法：将函数f[g(x)]中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式．(3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，-8-从而得到函数的解析式．一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)．二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法．(5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值．[跟踪训练3](1)已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f[g(x)]＝4x2－20x＋25，求g(x)的表达式；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)；(4)设f(x)是R上的函数，f(0)＝1，并且对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1)，求f(x)．解(1)由g(x)为一次函数，设g(x)＝ax＋b(a0)，∵f[g(x)]＝4x2－20x＋25，∴(ax＋b)2＝4x2－20x＋25，即a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25，从而a2＝4,2ab＝－20，b2＝25，解得a＝2，b＝－5，故g(x)＝2x－5(x∈R)．(2)解法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．解法二(换元法)：令x＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)．∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)将f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x中的x用－x替换，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.于是得到关于f(x)，f(－x)的方程组fx＋2f－x＝x2＋2x，f－x＋2fx＝x2－2x，解得f(x)＝13x2－2x.(4)由已知条件得f(0)＝1，又f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1)，设y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋(－x)(2x＋1)，-9-∴f(x)＝2x2＋x＋1.题型四根据图象求分段函数的解析式例4根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式．[解]当－3≤x－1时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－32x－72；当－1≤x1时，同理，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f(x)＝32x－12；当1≤x2时，f(x)＝1.所以f(x)＝－32x－72，－3≤x－1，32x－12，－1≤x1，1，1≤x2.金版点睛由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用待定系数法求解.对于分段函数，需观察各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各段解析式对应的自变量的范围.[跟踪训练4]已知函数y＝f(x)的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成的，求此函数的解析式．解设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b(x≤1)．∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴k＋b＝1，b＝2，解得k＝－1，b＝2.∴左侧射线对应的函数的解析式为y＝－x＋2(x≤1)．同理，当x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x≥3)．-10-设抛物线的一部分对应的二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋