2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正

-1-5.4.1正弦函数、余弦函数的图象(教师独具内容)课程标准：1.了解利用单位圆画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．教学重点：正弦函数、余弦函数图象的作法．教学难点：1.利用单位圆画正弦曲线.2.正弦曲线与余弦曲线之间的联系.【知识导学】知识点一正弦函数的图象(1)正弦曲线正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做□01正弦曲线．(2)正弦函数图象的画法①几何法(ⅰ)利用□02单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；(ⅱ)将图象不断□03向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．②五点法(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点□04(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；(ⅱ)将所得图象□05向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)．知识点二余弦函数的图象(1)余弦曲线余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做□01余弦曲线．-2-(2)余弦函数图象的画法①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移□02π2个单位长度即可，这是由于cosx＝sinx＋π2.②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为□03(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断□04向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．【新知拓展】正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的，正弦曲线与余弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝sinx，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称．()(2)y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π2成轴对称．()(3)正弦函数、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．()(4)正弦曲线与余弦曲线形状相同，只是位置不同．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．做一做(1)下列各点中，不在y＝sinx图象上的是()A．(0,0)B.π2，1C.3π2，－1D．(π，1)(2)从函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象来看，对应于sinx＝12的x有()A．1个值B．2个值C．3个值D．4个值-3-(3)对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下描述：①将[0,2π]内的图象向左向右无限伸展；②与y＝sinx的图象形状完全一样，只是位置不同；③与y轴有无数个交点；④关于y轴对称．其中正确的描述有()A．1项B．2项C．3项D．4项答案(1)D(2)B(3)C题型一五点法作图例1用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．[解](1)列表：描点、连线，如图：(2)列表：描点、连线，如图：-4-金版点睛描点法画正弦函数图象(y＝sinx)的关键(1)列表时，自变量x的数值要适当选取①在函数定义域内取值；②由小到大的顺序取值；③取的个数应分布均匀；④应注意图形中的特殊点(如：端点，交点，顶点)；⑤尽量取特殊角．(2)描点连线时应注意①两坐标轴上的单位长度尽可能一致，以免改变图象的真实形状；②变量x，y数值相差悬殊时，也允许采用不同长度单位；③连线时一定要用光滑的曲线连接，防止画成折线．[跟踪训练1]作出下列函数的图象：(1)y＝－sinx(0≤x≤2π)；(2)y＝1＋cosx(0≤x≤2π)．解(1)列表：描点连线，如下图：-5-(2)列表：描点连线，如下图：题型二用图象变换作函数图象例2作出函数y＝1－cos2x的图象．[解]y＝1－cos2x＝|sinx|，即y＝sinx2kπ≤x≤2kπ＋π，－sinx2kπ＋πx2kπ＋2π(k∈Z)．其图象如下图：金版点睛用图象变换作函数图象对于某些函数的图象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图．(1)把y＝sinx图象在x轴上方的保留，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sinx|的图象．(2)把y＝sinx图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin|x|的图象．-6-[跟踪训练2]作出函数y＝－sin|x|的图象．解y＝－sin|x|＝－sinxx≥0，sinxx0.其图象如图所示：题型三正弦函数、余弦函数图象的简单应用例3利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．(1)sinx≥12；(2)cosx≤12.[解](1)作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为π6＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z.(2)作出余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为π3＋2kπ，5π3＋2kπ，k∈Z.金版点睛用三角函数图象解不等式的步骤正弦函数、余弦函数图象的主要作用是解简单的三角不等式，用三角函数图象解不等式的步骤是：-7-(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；(2)写出所求不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据诱导公式一写出定义域内的解集．[跟踪训练3]利用正弦曲线，求满足12sinx≤32的x的集合．解首先作出y＝sinx在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y＝32，该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6x≤π3或2π3≤x5π6时，不等式12sinx≤32成立，所以12sinx≤32的解集为{x|π6＋2kπx≤π3＋2kπ或2π3＋2kπ≤x5π6＋2kπ，k∈Z}．1．用“五点法”作y＝sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()A．0，π2，π，3π2，2πB．0，π4，π2，3π4，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3答案B解析根据“五点法”，可令2x＝0，π2，π，3π2，2π，解得x＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.2．以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是()A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同-8-B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴仅有一个交点答案C解析由正弦函数图象可知，A正确；由正弦函数的图象可知B正确；由正弦函数的图象，知正弦函数的图象不关于x轴对称，关于原点对称，故C错误；由正弦函数图象，知D正确．故选C.3．要得到正弦曲线，只要将余弦曲线()A．向右平移π2个单位长度B．向左平移π2个单位长度C．向右平移3π2个单位长度D．向左平移π个单位长度答案A解析由于cosx－π2＝sinx，所以只需将y＝cosx的图象向右平移π2个单位长度即可．4．满足cosx0，x∈[0,2π]的x的取值范围是________．答案0，π2∪3π2，2π解析画出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示．由图象可知满足cosx0，x∈[0,2π]的x的取值范围为0，π2∪3π2，2π.5．用“五点法”作出函数y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．解列表：x0π2π3π22πsinx010－101＋2sinx131－11-9-在直角坐标系中描出五点(0,1)，π2，3，(π，1)，3π2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．