-1-1.3.1二项式定理知识点二项式定理及其相关概念1.二项式定理二项展开式:(a+b)n=□01C0nan+C1nan-1b+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn(n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数□02Ckn(k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.特别地,(1+x)n=□031+C1nx+C2nx2+…+Cknxk+…+Cnnxn(n∈N*).结构特点:(1)各项的次数都□04等于二项式的幂指数n;(2)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零,字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n;(3)共有□05n+1项.2.二项展开式的通项(a+b)n的二项展开式中的第k+1项□06Cknan-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即Tk+1=□07Cknan-kbk.(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*)1.注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r+1项的二项式系数是Crn,所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n+1个组合数,与a,b的取值无关,且是正数;而第r+1项的系数则是二项式系数Crn与数字系数的积,可能为负数.如(2x+1)5展开式中的第二项的二项式系数是C15,而第二项的系数则是C15·24.注意:当数字系数为1时,二项式系数恰好就是项的系数.2.要牢记Cknan-kbk是展开式的第k+1项,不要误认为是第k项.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)(a+b)n展开式中共有n项.()(2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同.()(3)Cknan-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.()答案(1)×(2)×(3)×2.做一做-2-(1)x-1x16的二项展开式中第4项是________.(2)展开1+1x4为________.(3)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是________.答案(1)-560x10(2)1+4x+6x2+4x3+1x4(3)10解析(1)展开式的通项公式为Tr+1=Cr16·x16-r·-1xr=(-1)r·Cr16·x16-2r,所以第4项为T4=(-1)3C316·x10=-C316x10=-560x10.(2)1+1x4=1+C141x+C241x2+C341x3+1x4=1+4x+6x2+4x3+1x4.(3)T4=C35x2y3含x2y3的项的系数是C35=10.探究1=1,因此所求系数为180-1=179.