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12直观图[学习目标]1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.【主干自填】1．平面图形直观图的画法斜二测画法规则：(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝□0145°，它们确定的平面表示□02水平平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成□03平行于x′轴和y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度□04不变；平行于y轴的线段，长度为原来的□0512.2．立体图形与平面图形相比多了一个□06z轴，其直观图中对应于z轴的是□07z′轴，平面x′O′y′表示□08水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示□09直立平面．平行于z轴的线段，在直观图中□10平行性和□11长度都不变．【即时小测】1．思考下列问题(1)相等的角在直观图中还相等吗？提示：不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．(2)空间几何体的直观图唯一吗？提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A．①②B．①②③C．②⑤D．③④⑤提示：C因为长方形的直观图中直角应为45°角，且平行线仍为平行的平行四边形，只有②⑤满足．3．梯形的直观图是()A．梯形B．矩形2C．三角形D．任意四边形提示：A因为梯形的两底在直观图中应平行且不相等，故仍为梯形．4．如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．提示：6由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝12OA·OB＝6.例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．[解]画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．类题通法本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”“画图”简便易行.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.3[变式训练1]用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′轴上取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.例2画出正五棱柱的直观图．[解](1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都相等．(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．类题通法画空间几何体的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z4轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”.[变式训练2]用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．解画法：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝32cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．例3如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()5A.24a2B．22a2C．a2D．2a2[解析]由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·22a＝22a2.[答案]B类题通法由直观图还原平面图形的关键两点(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[变式训练3]一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为()A．2B.2C．22D．4答案D解析如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高．原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的2倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的22倍，梯形OA′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4.6易错点⊳画直观图时忽略斜二测画法的规则[典例]画出下图中四边形OABC的直观图．[错解]如图(1)所示，画x′轴和y′轴，使∠x′O′y＝45°.在x′轴上取O′B′＝4，O′D′＝3，在y′轴上取O′C′＝1，过D′作∠B′D′A′＝90°，取A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，擦去辅助线，所得四边形O′A′B′C′为四边形OABC的直观图，如图(2)所示．[错因分析]错解中没有将∠B′D′A′画成135°.[正解]如图(1)所示，画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上取O′B′＝4，O′D′＝3，在y′轴上取O′C′＝1，过D′作∠B′D′A′＝135°，取A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，擦去辅助线，所得四边形O′A′B′C′为四边形OABC的直观图，如图(2)所示．课堂小结1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：S直S原＝24.2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.71．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为()A．16B．64C．16或64D．无法确定答案C解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.2．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()答案C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3．在用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，与轴不平行的线段的长度()A．变大B．变小C．一定改变D．可能不变答案C解析当与x轴不平行时，过该线段的中点作x轴的垂线，该垂线与y轴平行，画直观图时，该直线平行于y′轴，并且长度减半，从而原线段端点位置改变，导致长度改变．4．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形答案C解析水平放置的△ABC有一边在水平线上，因为直观图是正三角形，所以原图形有一角大于90°，故为钝角三角形．