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11.1.2集合的基本关系(教师独具内容)课程标准：1.理解子集、真子集的概念，能识别给定集合的子集.2.理解两个集合包含与相等的含义，能用子集的观点解释两个集合的相等关系．教学重点：1.子集、真子集定义的理解.2.写出给定集合的子集.3.两个集合之间关系的判定.4.用子集观点解释两个集合的相等关系．教学难点：1.两个集合之间关系的判定.2.一些关系符号(⊆，⊇，，，∈，∉)的准确使用.3.具体问题中易忽视空集的情况.【情境导学】(教师独具内容)我们学校共有高一、高二、高三三个年级，每个年级都分为两个级部，每个级部都有若干个班级，每个班级都有若干个学生．学校可以看成“所有学生组成的集合”，而年级、级部、班级可以看成“某些学生组成的集合”．这里有个体(学生)、局部(年级等)、整体(学校)一些研究对象．怎么用集合语言刻画它们之间的关系呢？【知识导学】知识点一子集一般地，如果集合A的任意一个元素□01都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的□02子集，记作□03A⊆B(或□04B⊇A)，读作“□05A包含于B”(或“□06B包含A”)．对应地，如果A不是B的子集，则记作□07AB(或□08B⊉A)，读作“□09A不包含于B”(或“□10B不包含A”)．规定：□11空集是任何集合的子集．注意：(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集．(3)子集有下列两个性质：①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；②传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(4)为了直观地表示集合间的关系，常用平面上的封闭图形的内部表示集合，称为维恩图．因此，A⊆B可用维恩图表示为2知识点二真子集一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的□01真子集，记作□02AB(或BA)，读作“□03A真包含于B”(或“□04B真包含A”)．可用维恩图表示为很明显，空集是任何非空集合的真子集．从真子集的定义可以看出，要想证明A是B的真子集，需要两步：一是证明□05A⊆B(即A中的任何元素都属于B)，二是证明B中至少有一个元素不属于A.知识点三集合的相等一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B□01相等，记作□02A＝B，读作“□03A等于B”．由集合相等的定义可知：如果□04A⊆B且□05B⊆A，则□06A＝B；反之，如果□07A＝B，则□08A⊆B且□09B⊆A.【新知拓展】1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”．因为若A＝∅，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若A⊆B，则B中至少有一个元素不属于A.()3(2)若A⊆B，则要么AB，要么A＝B.()(3)空集没有真子集．()(4)若A⊆B，则B不会是空集．()(5)若A＝B，则必有A⊆B.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用适当的符号(⊆，⊇，，，＝)填空．N*________N，R________Q，{x|x2＝1}________{－1,1}，{(x，y)|x＋y＝1}________x，yx＋y＝1，x－y＝0.(2)给出下列集合：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是菱形}，D＝{x|x是正方形}，它们的关系可以表示为________________．答案(1)＝(2)DBA，DCA题型一判断集合之间的关系例1判断下列各组集合的关系：(1)A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的正约数}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是有一个内角是60°的等腰三角形}；(3)A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[解](1)集合A中的元素1,2,4都是8的正约数，从而这三个元素都属于B，即A⊆B；但B中的元素8不属于A，从而A≠B，所以AB.(2)等边三角形的三个内角都是60°且等边三角形都是等腰三角形，即A⊆B；有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即B⊆A，所以A＝B.(3)解法一：两个集合都表示一些正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合A含有元素“1”，而集合B不含元素“1”，故BA.解法二：由列举法知A＝{1,3,5,7，…}，B＝{3,5,7,9，…}，所以BA.金版点睛集合间的关系是由两集合中元素的关系确定的，因此，要判定集合间的关系，必须根据集合的表示方法，弄清集合中的元素是什么，再根据元素之间的关系给出结果；很明显当AB或者A＝B时，不宜表示为A⊆B.4[跟踪训练1]例1中(3)，两集合中条件“n∈N*”改为n∈Z，结果如何？解A＝B.题型二写出集合的子集和真子集例2写出集合{a，b，c}的所有子集和真子集．[解]因为集合{a，b，c}中有3个元素，所以其子集中的元素个数只能是0,1,2,3.有0个元素的子集：∅；有1个元素的子集：{a}，{b}，{c}；有2个元素的子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}；有3个元素的子集：{a，b，c}．因此集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．集合{a，b，c}的所有真子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．金版点睛本例采用分类列举的办法，分类的标准是子集中元素的个数，这样做，所写的子集不重不漏，是一种思路清晰、条理明确的解题方法.在写出的集合的子集中，除去集合本身，剩下的都是该集合的真子集.[跟踪训练2]写出集合{1,2,3}的所有子集和真子集．解集合{1,2,3}的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．集合{1,2,3}的所有真子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}.题型三有限集子集个数探究例3令集合A0＝∅，集合An＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，试探究集合An子集的个数．[解]为了方便，不妨设集合An的子集数为m(An)．我们把An的子集分为两类，第一类：含元素an；第二类：不含元素an.易知，第二类就是集合An－1的子集，且第一类和第二类同样多．因此，m(An)＝2m(An－1)．从而，m(An－1)＝2m(An－2)，…，m(A1)＝2m(A0)，易知m(A0)＝1.所以m(An)＝2m(An－1)＝22m(An－2)＝23m(An－3)＝…＝2nm(A0)＝2n.金版点睛若一组对象分为甲、乙两类，当两类对象同样多时，我们只要知道其中一类对象的个数，也就知道了另一类对象的个数，从而也就知道了这组对象的总个数．“同样多”是一种一一对应的观点．如下例：5很明显，第二行就是A2的所有子集，从而m(A3)＝2m(A2)．注意：如果非空集合A中有n(n∈N*)个元素，那么集合A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．[跟踪训练3]满足⊆{1,2,3,4,5}的集合M有多少个？解由{1,2}M可知，M中必定有1,2两个元素，且至少还有异于1,2的“其他”一个元素；由M⊆{1,2,3,4,5}可知，上面所说的“其他”应当来自于3,4,5这三个数：可以是其中的1个(三种情况)，2个(三种情况)，3个(一种情况)．故满足条件的集合M有7个(也就是集合{3,4,5}的非空子集的个数).题型四集合相等的应用例4设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2019＋b2020.[解]由A＝B，有a2＝1，ab＝b或a2＝b，ab＝1.解方程组得a＝1，b∈R或a＝－1，b＝0或a＝1，b＝1，由集合元素的互异性，知a≠1.∴a＝－1，b＝0，故a2019＋b2020＝－1.金版点睛集合相等的应用方法根据两个集合相等求集合的待定字母，一般是从集合中元素对应相等来建立方程(或方程组)，要注意将对应相等的情况分类列全，最后还需要将方程(方程组)的解代入原集合检验，对不符合题意的解要舍去．[跟踪训练4]已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}，若A＝B，且x，y为整数，求(x＋y)2019的值．解∵A＝B，∴集合A与集合B中的元素相同．∴x＝2x，y＝y2或x＝y2，y＝2x，6解得x＝0，y＝0或x＝0，y＝1或x＝14，y＝12(舍去)．验证得，当x＝0，y＝0时，A＝{2,0,0}，这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．当x＝0，y＝1时，A＝B＝{0,1,2}，符合题意．∴x，y的取值为x＝0，y＝1，∴(x＋y)2019＝1.题型五含参问题探究例5已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若BA，求实数m的取值范围．[解]①当B≠∅时，如图所示：∴m＋1≥－2，2m－15，2m－1≥m＋1或m＋1－2，2m－1≤5，2m－1≥m＋1，解这两个不等式组，得2≤m≤3.②当B＝∅时，由m＋12m－1，得m2.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．金版点睛[跟踪训练5]已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1xm＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．7解B⊆A，分两种情况考虑：①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B≠∅时，有－3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1m＋1，解得－1≤m2，综上得m的取值范围为{m|m≥－1}．1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析①空集是它本身的子集；②空集只有一个子集；③空集不是它本身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错误，④正确．2．集合P＝{0,1}，Q＝{y|x2＋y2＝1，x∈N}，则集合P，Q间的关系是()A．P＝QB．PQC．QPD．不确定答案B解析由x2＋y2＝1，x∈N，得y＝±1,0，即Q＝{－1，0,1}，所以PQ.故选B.3．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有()①1∈A；②{－1}∈A；③∅⊆A；④{1，－1}⊆A.A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故①③④正确，②不正确．4．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有()A．6个B．7个8C．8个D．15个答案B解析依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)