2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1

-1-3．2.1直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点2．用向量表示平面的位置(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04xa＋yb(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝kv(k∈R)-2-线线垂直l⊥m⇔□12a⊥b⇔□13a·b＝0线面垂直l⊥α⇔□14a∥u⇔□15a＝λu(λ∈R)面面垂直α⊥β⇔□16u⊥v⇔□17u·v＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量AB→都可作为该直线的方向向量．()(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．()(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．()(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a＝(2，－4，－3)，b＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n＝(1，m，n)是α的一个法向量，那么m＝________，n＝________.(3)(教材改编P104T2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________.(4)已知直线l1，l2的方向向量分别是v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，则直线l1，l2的位置关系为________．答案(1)(2,4,6)(2)120(3)4(4)平行探究1点的位置向量与直线的方向向量例1(1)若点A－12，0，12，B12，2，72在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A.13，23，1B.13，1，23C.23，13，1D.1，23，13(2)已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5)，B(2,2,0)，C(0,5,0)，直线BD∥CA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标．-3-[解析](1)AB→＝12，2，72－－12，0，12＝(1,2,3)，13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB→，又因为与AB→共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D的坐标为(x,0，z)，则BD→＝(x－2，－2，z)，CA→＝(0，－2,5)．∵BD∥CA，∴x－2＝0，z＝5，∴x＝2，z＝5，∴点D的坐标为(2,0,5)．[答案](1)A(2)见解析拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，在直线AB上有一点Q，使得AQ→＝－2QB→，求点Q的坐标．解由题设AQ→＝－2QB→，设Q(x，y，z)，则(x－2，y－4，z)＝－2(1－x,3－y,3－z)，∴x－2＝－21－x，y－4＝－23－y，z＝－23－z，解得x＝0，y＝2，∴Q0，2，6.z＝6，探究2求平面的法向量例2如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面SCD与平面SBA的法向量．[解]∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，分别以AD→，AB→，AS→的方向-4-为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，则A(0,0,0)，D12，0，0，C(1,1,0)，S(0,0,1)，AD→＝12，0，0是平面SAB的法向量，设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，则n·DC→＝(1，λ，u)·12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n·DS→＝(1，λ，u)·－12，0，1＝－12＋u＝0，∴u＝12，∴n＝1，－12，12.综上，平面SCD的一个方向向量为n＝1，－12，12，平面SBA的一个法向量为AD→＝12，0，0.拓展提升设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中k∈R，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n＝(x，y，z)．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．③依据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组n·a＝0，n·b＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：DB1→是平面ACD1的一个法向量．-5-证明设正方体的棱长为1，分别以DA→，DC→，DD1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB1→＝(1,1,1)，AC→＝(－1,1,0)，AD1→＝(－1,0,1)．于是有DB1→·AC→＝0.所以DB1→⊥AC→，即DB1⊥AC.同理，DB1⊥AD1，又AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，从而是平面ACD1的一个法向量．探究3利用方向向量、法向量判断线、面关系例3(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12；②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量(l⊄α)，根据下列条件判断α和l的位置关系：①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；③u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．[解](1)①因为a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，所以a＝－13b，所以a∥b，所以l1∥l2.-6-②因为a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以l1⊥l2.③因为a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，所以a与b不共线，也不垂直，所以l1与l2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12，所以u·v＝3－2－1＝0，所以u⊥v，所以α⊥β.②因为u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，所以u＝－35v，所以u∥v，所以α∥β.③因为u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．所以u与v既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，所以u·a＝－6＋8－2＝0，所以u⊥a，所以直线l和平面α的位置关系是l∥α.②因为u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，所以u＝－14a，所以u∥a，所以l⊥α.③因为u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，所以u和a不共线也不垂直，所以l与α斜交．拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)；(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)；(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)．解(1)因为a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，所以a·b＝8－6－2＝0，所以a⊥b，所以l1⊥l2.(2)因为u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)，所以v＝－3u，所以v∥u，所以α∥β.(3)因为a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)，所以a≠ku(k∈R)且a·u≠0，所以a与u既不共线也不垂直，即l与α相交但不垂直．-7-(4)因为a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)，所以a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u，所以l⊂α或l∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP→＝tAB→，当t＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M是线段AB的中点，则OM→＝12(OA→＋OB→)，这就是线段AB中点的向量表达式.3.利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.4.向量法证明线面平行(1)设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n且l上至少有一点A∉α，则l∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.5.向量法证明面面平行(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a⊥平面α，b⊥平面β，且a∥b，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a＝12，－1，3，b＝(－1,2，－6)，则()A．a∥βB．α与β相交但不垂直C．α⊥βD．α∥β或α与β重合答案D解析∵b＝－2a，∴b∥a，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝2，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1-8-的中心，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF的方向向量可以是()A.1，0，22B．(1,0，2)C．(－1,0，2)D．(2,0，－2)答案D解析由已知得E(1,1，2)，F2，1，22，所以|EF→|＝2，1，22－(1,1，2)＝1，0，－22，结合选项可知，直线EF的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面AB