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-1-1.3简单的逻辑联结词1．用逻辑联结词“或”“且”“非”构成新命题构成新命题记作读作用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题□01p∨qp或q用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题□02p∧qp且q对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题□03綈p非p或p的否定2．“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断真值表pqp∨qp∧q綈p真真□04真□05真□06假真假□07真□08假□09假假真□10真□11假□12真假假□13假□14假□15真1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“綊”的含义是“且”，“≤”的含义是“或”，“∉”的含义是“非”．()(2)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．()(3)命题“p∨(綈p)”是真命题．()(4)梯形的对角线相等且平分是“p∨q”的形式命题．()答案(1)√(2)×(3)√(4)×2．做一做(1)(教材改编P18A组T1)由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是()A．p：4＋4＝9，q：74-2-B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}C．p：15是质数，q：8是12的约数D．p：2是偶数，q：2不是质数(2)若p真q假，则下列命题是真命题的是_____________________________．①p∨q；②p∧q；③綈p；④綈q.(3)命题“若x1，则x21”的否定是________．(4)命题p：{2}∈{2,3}，q：{2}⊆{2,3}，则下列对命题的判断，正确的是________(填上所有正确的序号)．①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．答案(1)B(2)①④(3)若x1，则x2≤1(4)①④⑤⑥解析(1)“p或q”“p且q”都为真，则p真q真．故选B.探究1含有逻辑联结词的命题的构成例1指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)集合A⃘(A∪B)；(4)正弦函数y＝sinx(x∈R)是奇函数并且是周期函数．[解](1)是“p∧q”形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是“綈p”形式的命题．其中p：A⊆(A∪B)．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：正弦函数y＝sinx(x∈R)是奇函数，q：正弦函数y＝sinx(x∈R)是周期函数．拓展提升复合命题的构成方式用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如：-3-甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．【跟踪训练1】分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题．(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．解(1)“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；“綈p”：π不是无理数．(2)“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；“綈p”：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“綈p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．探究2判断含有逻辑联结词的命题的真假例2分别指出“p∨q”“p∧q”“綈p”的真假．(1)p：函数y＝sinx是奇函数；q：函数y＝sinx在R上单调递增；(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝12与圆x2＋y2＝1相交．[解](1)∵p为真命题，q为假命题，∴“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“綈p”为假命题．(2)∵p为真命题，q为真命题，∴“p∨q”为真命题，“p∧q”为真命题，“綈p”为假命题．拓展提升1.命题结构的两种类型及判断方法(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．2．判断命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”；(2)对命题p和q的真假作出判断；-4-(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真值表给出结论．【跟踪训练2】直接判断下列“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假．(1)p：不等式x2＋2x＋32的解集为R，q：不等式x2＋2x＋3≤2的解集为∅；(2)p：函数f(x)＝－2x2－3x＋7，当x＝－34时，取到最大值，q：函数g(x)＝2sinx＋3cosx的最小值为－5.解(1)∵p，q都是假命题，∴“p∨q”为假命题，“p∧q”为假命题，“綈p”为真命题．(2)∵p，q都是真命题，∴“p∨q”为真命题，“p∧q”为真命题，“綈p”为假命题．探究3命题的否定与否命题例3写出下列命题的否定形式和否命题．(1)若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为零；(2)等腰三角形的两内角相等；(3)自然数的平方是正数．[解](1)否定形式：若abc＝0，则a，b，c全不为零；否命题：若abc≠0，则a，b，c全不为零．(2)否定形式：等腰三角形的任意两个内角都不相等；否命题：不是等腰三角形的三角形任意两个内角都不相等．(3)否定形式：自然数的平方不是正数；否命题：不是自然数的数的平方不是正数．拓展提升命题的否定与否命题的解决策略(1)解决此类问题：首先要分清命题的条件和结论．命题的否定与否命题是不同的概念．命题的否定是只否定命题的结论，命题的否命题为条件和结论均否定．(2)一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面我们把常用的一些词语和它的否定词语对照列表如下：-5-原词语等于大于()小于()是都是否定词语不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个原词语任意的任意两个所有的能或否定词语某个某两个某些不能且【跟踪训练3】写出下列命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若一个数是质数，则这个数是奇数；(3)若两个角相等，则这两角是对顶角；(4)如果m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零．解(1)命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．(2)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，是真命题；否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，是假命题．(3)命题的否定：若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，是真命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角，是真命题．(4)命题的否定：如果m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零，是假命题．命题的否命题：如果m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零，是真命题．探究4利用命题的真假求参数的取值范围例4已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．[解]若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则Δ＝m2－40，－m0，解得m2，即p：m2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)0，解得1m3，即q：1m3.由p∨q为真，得p，q至少有一个为真．又p∧q为假，所以p，q至少有一个为假．-6-因此，p，q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．所以m2，m≤1或m≥3或m≤2，1m3.解得m≥3或1m≤2，即m的取值范围是{m|m≥3或1m≤2}．[条件探究]如果把例4条件中的“负”改为“正”，“p∨q为真”改为“綈p为假”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的正根，则Δ＝m2－40，－m0，解得m－2，即p：m－2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)0，解得1m3，即q：1m3，因为綈p为假，p∧q为假，所以p为真，q为假．所以m－2，m≤1或m≥3，解得m－2.所以m的取值范围是{m|m－2}．拓展提升应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B；(2)由“p且q”“p或q”的真假讨论p，q的真假；(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算；(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．注意：当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．【跟踪训练4】已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．解由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝a2或x＝－a，∴当命题p为真命题时，a2≤1或|－a|≤1，-7-∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p∨q”为假命题，∴a2或a－2，即a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式的关键：弄清构成它的命题条件、结论.2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．(1)“p∧q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；(2)“p∨q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真.3.“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假.1．命题：“菱形对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是()A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”答案B解析菱形的对角线互相垂直且互相平分，∴使用了逻辑联结词“且”．2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3＞2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“非q”为假B．“p或q”为真，“非q”为假C．“p且q”为假，“非p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假答案B解析显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假．3．若命题綈(p∨q)为假命题，则()-8-A．p，q中至少有一个为真命题B．p，q中至多有一个为真命题C．p，q均为真命题D．p，q均为假命题答案A解析易知p∨q为真，所以p，q中至少有一个为真命题，选A.4．用“或”“且”填空．(1)若x∈A∪B，则x∈A________x∈B；(2)若x∈A∩B，则x∈A________x∈B；(3)若ab＝0，则a＝0________b＝0；(4)若a2＋b2＝0，则a＝0________b＝0.答案(1)或(2)且(3)或(4)且解析(1)∵A∪B＝{x|x∈A或x∈B