2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.

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-1-3.1.1函数的概念(教师独具内容)课程标准:1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素,能求一些简单函数的定义域.教学重点:1.理解函数的定义,会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素,了解同一个函数的定义,会判定两个给定的函数是否是同一个函数.教学难点:1.对应关系f的正确理解,函数符号y=f(x)的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有□01唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作□02y=f(x),x∈A.其中,x叫做□03自变量,x的取值范围A叫做函数的□04定义域;与x的值相对应的y值叫做□05函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的□06值域.显然,□07值域是集合B的子集.注意:(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数,主要看是否满足三性:任意性、存在性、唯一性.这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三性只要有一个不满足便不能构成函数.(2)集合A是函数的定义域,因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应;集合B不一定是函数的值域,因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x,也就是说,B中的某些元素可以不是函数值,即{f(x)|x∈A}⊆B.(3)在函数定义中,我们用符号y=f(x)表示函数,其中f(x)表示“x对应的函数值”,而不是“f乘x”.知识点二函数的两要素从函数的定义可以看出,函数有三个要素:□01定义域、□02对应关系、□03值域,由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以确定一个函数只需要两个要素:□04定义域和对应关系.即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系,只要检验:-2-(1)定义域和对应关系是否给出;(2)根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应.知识点三区间的概念(1)设a,b是两个实数,而且ab.我们规定:①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做□01闭区间,表示为□02[a,b];②满足不等式axb的实数x的集合叫做□03开区间,表示为□04(a,b);③满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫做□05半开半闭区间,分别表示为□06[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的□07端点.实数集R可以用区间表示为□08(-∞,+∞),“∞”读作“□09无穷大”,“-∞”读作“□10负无穷大”,“+∞”读作“□11正无穷大”.我们可以把满足x≥a,xa,x≤b,xb的实数x的集合,用区间分别表示为□12[a,+∞),□13(a,+∞),□14(-∞,b],□15(-∞,b).(2)区间的几何表示在用数轴表示区间时,用实心点表示□16包括在区间内的端点,用空心点表示□17不包括在区间内的端点.(3)含“∞”的区间的几何表示-3-注意:(1)无穷大“∞”只是一个符号,而不是一个数,因而它不具备数的一些性质和运算法则.(2)以“-∞”或“+∞”为区间一端时,这一端必须用小括号.知识点四同一个函数如果两个函数的□01定义域相同,并且□02对应关系完全一致,即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.【新知拓展】(1)函数符号“y=f(x)”是数学中抽象符号之一,“y=f(x)”仅为y是x的函数的数学表示,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图表或图象.(2)函数的概念中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空实数集B中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y和它对应,这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应.()(2)函数的定义域和值域一定是无限集合.()(3)定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定了.()(4)若函数的定义域中只有一个元素,则值域中也只有一个元素.()(5)对于定义在集合A到集合B上的函数y=f(x),x1,x2∈A,若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2).()-4-答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f,不能确定从集合A到集合B的函数关系的是________.①A={1,4},B={-1,1,-2,2},对应关系:开平方;②A={0,1,2},B={1,2},对应关系:③A=[0,2],B=[0,1],对应关系:(2)下列函数中,与函数y=x是同一个函数的是________.①y=x2;②y=3x3;③y=(x)2;④s=t.答案(1)①③(2)②④题型一求函数的定义域例1求下列函数的定义域:(1)y=2x+3;(2)f(x)=1x+1;(3)y=x-1+1-x;(4)y=x+1x2-1;(5)y=(1-2x)0.[解](1)函数y=2x+3的定义域为{x|x∈R}.(2)要使函数式有意义,即分式有意义,则x+1≠0,x≠-1.故函数的定义域为{x|x≠-1}.(3)要使函数式有意义,则x-1≥0,1-x≥0,即x≥1,x≤1,所以x=1,从而函数的定义域为{x|x=1}.(4)因为当x2-1≠0,即x≠±1时,x+1x2-1有意义,所以函数的定义域是{x|x≠±1}.(5)∵1-2x≠0,即x≠12,∴函数的定义域为{|xx≠12}.-5-例2已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域.[解]已知函数f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4.故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4.∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32,∴函数f(2x+1)的定义域是-1,32.例3如图所示,用长为1m的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完),若半圆的半径为x(单位:m),求此框架围成的面积y(单位:m2)与x的函数关系式.[解]由题意可得,AB=2x,CD︵的长为πx,于是AD=1-2x-πx2,∴y=2x·1-2x-πx2+πx22,即y=-π+42x2+x.由2x0,1-2x-πx20,得0x1π+2,∴此函数的定义域为0,1π+2.故所求的函数关系式为y=-π+42x2+x0x1π+2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式:若y=f(x)为整式,则函数的定义域是实数集R.(2)分式:若y=f(x)为分式,则函数的定义域为使分母不为0的实数集.(3)偶次根式:若y=f(x)为偶次根式,则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义).(4)几部分组成:若y=f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式,定义域是使各部分都有意义的集合的交集.(5)对于抽象函数的定义域:-6-①若f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]中,g(x)∈[a,b],从中解得x的解集即f[g(x)]的定义域.②若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由x∈[m,n]可确定g(x)的范围,设u=g(x),则f[g(x)]=f(u),又f(u)与f(x)是同一个函数,所以g(x)的范围即f(x)的定义域.③已知f[φ(x)]的定义域,求f[h(x)]的定义域,先由f[φ(x)]中x的取值范围,求出φ(x)的取值范围,即f(x)中的x的取值范围,即h(x)的取值范围,再根据h(x)的取值范围便可以求出f[h(x)]中x的取值范围.(6)实际问题:若y=f(x)是由实际问题确定的,其定义域要受实际问题的约束.如:例3中,任何一条线段的长均大于零.[跟踪训练1](1)若函数f(x+1)的定义域为-12,2,则函数f(x-1)的定义域为________;(2)求下列函数的定义域:①y=x+12x+1-1-x;②y=x+1|x|-x;(3)①求函数y=5-x+x-1-1x2-9的定义域;②将长为am的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完),求矩形的面积y(单位:m2)关于一边长x(单位:m)的解析式,并写出此函数的定义域.答案(1)32,4(2)见解析(3)见解析解析(1)由题意知,-12≤x≤2,则12≤x+1≤3,即f(x)的定义域为12,3,∴12≤x-1≤3,解得32≤x≤4.∴f(x-1)的定义域为32,4.(2)①要使函数有意义,自变量x的取值必须满足x+1≠0,1-x≥0,即x≠-1,x≤1,∴函数的定义域为{x|x≤1,且x≠-1}.②要使函数有意义,需满足|x|-x≠0,即|x|≠x,∴x0.∴函数的定义域为{x|x0}.(3)①解不等式组5-x≥0,x-1≥0,x2-9≠0,得x≤5,x≥1,x≠±3.-7-故函数的定义域是{x|1≤x≤5,且x≠3}.②因为矩形的一边长为x,则另一边长为12(a-2x),所以y=x·12(a-2x)=-x2+12ax,定义域为x0xa2.题型二已知函数值求自变量的值例4已知函数f(x)=2x2-4,x∈R,若f(x0)=2,求x0的值.[解]易知f(x0)=2x20-4,∴2x20-4=2,即x20=3.又∵x0∈R,∴x0=±3.金版点睛就本例而言,已知函数值求自变量的值就是解方程,需要注意:所求的自变量的值必须在函数的定义域内.如果本例中加一个条件“x∈[0,+∞)”,则x0=3(-3不符合题意,舍去).[跟踪训练2]已知函数f(x)=x2-2x,x∈(-∞,0),若f(x0)=3.求x0的值.解由题意可得f(x0)=x20-2x0.∴x20-2x0=3,即x20-2x0-3=0.解得x0=3或x0=-1.又∵x0∈(-∞,0),∴x0=-1.题型三已知自变量的值求函数值例5已知f(x)=x2,x∈R,求:(1)f(0),f(1);(2)f(a),f(a+1).[解](1)f(0)=02=0,f(1)=12=1.(2)∵a∈R,a+1∈R,∴f(a)=a2,f(a+1)=(a+1)2.金版点睛对于函数定义域内的每一个值,都可以求函数值(当然函数值唯一),本例可以直接应用公式:f(x)=x2求解,实质上就是求代数式的值,例如f(1)就是当x=1时,代数式x2的值,而f(a+1)就是当x=a+1时,代数式x2的值.[跟踪训练3]已知f(x)=x+1x+1,求:-8-(1)f(2);(2)当a0时,f(a+1)的值.解(1)f(2)=2+13.(2)易知f(x)的定义域A=[0,+∞),∵a0,∴a+11,则a+1∈A,∴f(a+1)=a+1+1a+2.题型四求函数的值域例6求下列函数的值域:(1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);(3)y=2x+1x-3;(4)y=2x-x-1.[解](1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.(2)(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[2,6).(3)(分离常数法)y=2x+1x-3=2x-3+7x-3=2+7x-3,显然7x-3≠0,所以y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).(4)(换元法)设t=x-1,则x=t2+1,且t≥0,所以y=2(t2+1)-t-9-=2t-142+158,由t≥0,再结合函

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