2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充和复数的引入章末复习讲义 新人教A版选修2-2

-1-第三章数系的扩充和复数的引入知识系统整合规律方法收藏1．待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设z＝a＋bi(a，b∈R)，建立a，b的关系式，然后求解问题．2．解决复数问题时，要注意从整体角度去分析求解，若遇见复数便设为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，有时会导致计算量过大．运用整体代换及结合几何意义，可以大大地简化计算过程．3．复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据．4．复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考查的对象之一．求复数的模的最值时，常用的方法有：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解；(3)利用几何法求解．5．求复平面上的点的轨迹问题通常有两种途径：一是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据条件-2-转化为关于x与y的方程，从而得出所求轨迹．二是结合“基本轨迹方程”，充分考虑复数的整体性，运用条件及有关性质，探求轨迹上的点所对应的复数所具有的特征及满足的方程(代入法是求轨迹时常用的思想方法)．学科思想培优一、复数的基本概念例1(1)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z20，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z20(2)设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(3)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．[解析](1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，则ab＝0，a2－b2≥0，即b＝0，故z是实数，A正确．若z20，则ab＝0，a2－b20，即a＝0，b≠0，故B正确．若z是虚数，则b≠0，z2＝a2－b2＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题．若z是纯虚数，则a＝0，b≠0，z2＝－b20，故D正确．(2)a－103－i＝a－103＋i3－i3＋i＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，其为纯虚数得a＝3.(3)复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.[答案](1)C(2)D(3)21拓展提升复数的分类是高考中的命题方向，要弄清复数类型的充要条件，若复数a＋bi是实数，则b＝0，若复数a＋bi是纯虚数，则a＝0且b≠0，若复数a＋bi为零，则a＝0，且b＝0，若复数a＋bi是虚数，则b≠0.解题时，注意先要对复数进行化简运算，再根据其类型得出相应的代数式，从而得出问题的答案．二、复数的四则运算例2计算：(1)2－i31－2i；(2)2＋2i41－3i5.-3-[解](1)原式＝2＋i1－2i＝2＋iii＋2＝i.(2)原式＝161＋i41－3i41－3i＝162i22－23i21－3i＝－6441＋3i21－3i＝－161＋3i4＝－41＋3i＝－1＋3i.拓展提升复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．三、复数的几何意义例3已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数，所以y＝－2.因为z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i，且z2－i为实数，所以x＝4，所以z＝4－2i，所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知12＋4a－a20，8a－20，解得2a6，所以实数a的取值范围是(2,6)．拓展提升由于复数z＝a＋bi与复平面上的点Z(a，b)存在一一对应关系，故可以把复平面内的某些图形用适合某些条件的复数的方程或不等式表示，反之，某些简单的复数方程或不等式也对应复平面上的某些图形．-4-四、复数的综合问题例4已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．[解](1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i，∴|z1|＝2222＝22.(2)∵|z|＝1，∴可设z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，∴|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝cosθ－22sinθ＋22＝9＋4sinθ－cos＝9＋42sinθ－π4.∴当sinθ－π4＝1时，|z－z1|取得最大值，最大值为9＋42＝22＋1.拓展提升在知识的交汇处设计试题，是高考的命题宗旨之一，本例将求复数模的最值问题转化成了三角函数最值问题，方法巧妙，不失为一道经典考题．例5已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；(2)若方程有实根，求方程的实根的取值范围．[解](1)设实根为m，则m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0.根据复数相等的充要条件得m2＋2m＋2xy＝0，①m＋x－y＝0，②由②得m＝y－x，代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故点(x，y)的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.(2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r＝2，设方程的实根为m，则直线m＋x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2有公共点，所以|11m|2≤2，即|m＋2|≤2，即－4≤m≤0.-5-故方程的实根的取值范围为[－4,0]．拓展提升本题涉及复数与解析几何的知识，综合性较强，同学们往往不易入手，有一定的难度．在第(2)问求实根的取值范围时，还可先由方程①②消去y建立关于实数x的二次方程，再用判别式Δ求出m的范围．通过本题，同学们要进一步认识把复数问题转化为实数问题求解的必要性，这是解决有关复数问题的常用方法．五、复数方程问题例6设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0.(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；(2)证明对任意θ≠kπ＋π2(k∈Z)，方程无纯虚数根．[解](1)设实数根是a，则a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0，即a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0.∵a，tanθ∈R，∴a2－atanθ－2＝0，a＋1＝0，∴a＝－1，且tanθ＝1.又0θπ2，∴θ＝π4.(2)证明：若方程存在纯虚数根，设为x＝bi(b∈R，b≠0)，则(bi)2－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0，即－b2＋b－2＝0，btanθ＋1＝0，此方程组无实数解．对任意θ≠kπ＋π2(k∈Z)，方程无纯虚数根．拓展提升在复系数方程中，特别是一元二次方程中有根的条件不再是Δ≥0，而应是依据复数相等，把复数问题实数化，体现了转化思想．