2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.1

-1-第2课时函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解函数最大(小)值的含义并会用符号语言表达函数的最大(小)值.2.会求简单函数的最大(小)值.3.会运用函数的图象理解和研究函数的最值．教学重点：1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值．教学难点：求较复杂函数的最值.【知识导学】知识点一函数的最大值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①∀x∈I，都有□01f(x)≤M；②∃x0∈I，使得□02f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象□03最高点的纵坐标．知识点二函数的最小值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①∀x∈I，都有□01f(x)≥M；②∃x0∈I，使得□02f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象□03最低点的纵坐标．【新知拓展】(1)并不是每一个函数都有最值，如函数y＝1x，既没有最大值，也没有最小值．(2)有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值，如函数y＝－x2(y＝x2)．(3)特别地，对于常函数f(x)＝C，它的最大值和最小值都是C.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．()(2)函数的最小值一定比最大值小．()(3)若函数y＝f(x)有最大值，则这个最大值唯一．()-2-(4)若函数y＝f(x)的最大值是M，则使f(x0)＝M的x0是唯一的．()(5)对于函数y＝f(x)，如果它的函数值都不小于3，那么该函数的最小值是3.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是________．(2)函数y＝1x在[2,6]上的最大值与最小值之和等于________．(3)函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．答案(1)1(2)23(3)4题型一利用图象求函数最值例1(1)已知函数f(x)＝x2，－1≤x≤1，1x，x1.求f(x)的最大值、最小值；(2)画出函数f(x)＝－2x，x∈－∞，0，x2＋2x－1，x∈[0，＋∞的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[解](1)作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的图象如图所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.-3-金版点睛图象法求最值的一般步骤[跟踪训练1]求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．解y＝|x＋1|－|x－2|＝3，x≥2，2x－1，－1x2，－3，x≤－1.作出函数的图象，如图所示．由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.题型二利用单调性求函数最值例2求函数f(x)＝x＋4x在x∈[1,3]上的最大值与最小值．[解]设1≤x1＜x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋4x1－4x2＝(x1－x2)1－4x1x2.又因为x1x2，所以x1－x20.当1≤x1＜x2≤2时，1－4x1x20，所以f(x1)－f(x2)0，所以f(x)在[1,2]上单调递减．当2x1x2≤3时，1－4x1x20，所以f(x1)－f(x2)0.所以f(x)在(2,3]上单调递增．-4-所以f(x)的最小值为f(2)＝2＋42＝4.又因为f(1)＝5，f(3)＝3＋43＝133f(1)，所以f(x)的最大值为5.金版点睛利用单调性求函数最值(1)利用函数的单调性求函数最值是常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍．[跟踪训练2]求函数y＝x2x－3在区间[1,2]上的最大值和最小值．解令f(x)＝x2x－3，∀x1，x2∈[1,2]，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x21x1－3－x22x2－3＝x21x2－3x21－x1x22＋3x22x1－3x2－3＝x2－x1[3x1＋x2－x1x2]x1－3x2－3，因为1≤x1＜x2≤2，所以2x1＋x24，即63(x1＋x2)＜12，又1x1x24，x2－x10，故f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数y＝x2x－3在区间[1,2]上单调递减，所以ymax＝f(1)＝－12，ymin＝f(2)＝－4.题型三求二次函数的最值例3(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值；(4)已知函数f(x)＝x－2x－3，求函数f(x)的最值．[解](1)∵函数f(x)＝x2－2x－3图象的开口向上，对称轴x＝1，-5-∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.(2)由(1)知对称轴x＝1，①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.②当t＋t＋22≤1t＋2，即－1t≤0时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.③当t≤1t＋t＋22，即0t≤1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.④当1t，即t1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有g(t)＝t2－2t－3，t≤0，t2＋2t－3，t0，φ(t)＝t2＋2t－3，t≤－1，－4，－1t≤1，t2－2t－3，t1.(3)f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a.当a≥1时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，最小值为f(1)＝3－2a；当－1＜a＜1时，函数图象如图②所示，函数f(x)在区间[－1,1]上先单调递减后单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增，最小值为f(－1)＝3＋2a.-6-(4)设x＝t(t≥0)，则x－2x－3＝t2－2t－3.∵y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当t＝1，即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．金版点睛二次函数最值的求法(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内．(3)对某些函数，可通过换元，转化为二次函数，如函数f(x)＝x－2x－3.[跟踪训练3](1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；(3)求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．解(1)设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.令y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．∴当t＝1，即x＝±1时，f(x)min＝－4，无最大值．(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a2时，f(x)在[2,4]上单调递增，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.当a4时，f(x)在[2,4]上单调递减，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.∴f(x)min＝6－4a，a2，2－a2，2≤a≤4，18－8a，a4.(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.-7-当t＋11，即t0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，∴最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；当t1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，∴最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可得，g(t)＝t2＋1，t0，1，0≤t≤1，t2－2t＋2，t1.题型四应用题中的最值问题例4某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x400，其中x是仪器的月产量(单位：台)．(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[解](1)月产量为x台，则总成本为(20000＋100x)元，从而f(x)＝－12x2＋300x－20000，0≤x≤400，60000－100x，x400.(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，当x＝300时，f(x)max＝25000；当x400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)60000－100×400＝2000025000.∴当x＝300时，f(x)max＝25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．金版点睛解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)．(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．[跟踪训练4]某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池-8-又向居民小区供水，t小时内供水量为8020t吨，现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？解设t小时后，池中水量为y吨，则y＝450＋80t－8020t＝4(20t－10)2＋50，当20t＝10，即t＝5时，ymin＝50，所以，5小时后蓄水池中水量最少，只有50吨．1．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为()A．3,0B．3,1C．3，无最小值D．3，－2答案C解析观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.2．已知函数f(x)＝x2－2，其中x∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为()A．－2和1B．2和－2C．2和－1D．－1和2答案B解析∵f(x)＝x2－2在区间[0,2]上单调递增，∴ymax＝f(2)＝2，ymin＝f(0)＝－2.3．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时，面积S最大，此时x的值为()A.12B．1C.32D．2答案B解析∵S＝(4＋x)3－x2＝－12x2＋x