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1第2课时全集与补集(教师独具内容)课程标准：1.在具体情境中，了解全集的含义，理解补集的含义，能求(全集的)给定子集的补集.2.能用维恩图表达集合的补集．教学重点：1.补集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.会求集合的补集.3.能进行简单的“交”“并”“补”混合运算．教学难点：1.求补集及补集思想的应用.2.“子”“交”“并”“补”的综合问题.【情境导学】(教师独具内容)在平面内，用定长的线段围成一个平面图形，这个图形可以是正方形，也可以是圆，还有别的什么图形吗？看数学家的回答，他用很短的一条线段围住一个点，然后说：“点在外面”．用补集的观点就能理解数学家这句话的含义吗？【知识导学】知识点一全集在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示．注意：可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行，这个范围以外的问题不在我们研究的范围以内，这时就有理由将所研究的这个范围视为全集．全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在实数范围内研究问题，R是全集；若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0x5}为全集．通常也把给定的集合作为全集．知识点二补集2【新知拓展】1．求补集是集合的一种运算，其运算结果是一个集合(补集的定义就是告诉我们这个集合中的元素是什么)，这种运算有两个前提，一是必须有全集，二是求补集的这个集合必须是全集的子集．2．集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比实数集合被减数a被减集合(全集)A减数b减集合B差a－b补集∁AB很明显，同一个集合，由于全集的不同，其补集也不相同(就好像同一个数，由于被减数不同，差也不同一样)．3．根据补集的定义，容易看出的性质∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设全集是U，集合A⊆U，若x是U中的任一元素，则要么x∈A，要么x∈∁UA，二者必居其一且只居其一．()(2)全集没有补集．()(3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同．()(4)负整数集的补集是自然数集．()(5)设全集为U，则对于任意集合A，只要A⊆U，则等式“A∪(∁UA)＝U”都成立．答案(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√32．做一做(1)设集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,4}，则∁U(A∪B)＝()A．{2}B．{3}C．{1,2,4}D．{1,4}(2)已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝()A．{3}B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2}D．{1,2,3}答案(1)B(2)C题型一求给定集合的补集及集合的混合运算例1(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝()A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}(2)设全集为R，A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________.[解析](1)∵∁UB＝{2,5,8}，∴A∩(∁UB)＝{2,5}，故选A.(2)∵A∪B＝{x|2x10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．∵∁RA＝{x|x3或x≥7}，∴(∁RA)∩B＝{x|2x3或7≤x10}．[答案](1)A(2){x|x≤2或x≥10}{x|2x3或7≤x10}金版点睛关于集合的运算要牢记法则，仔细分析各集合中的元素：(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助维恩图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．4(3)对于混合运算，要类比实数的加、减运算：谁在前头先算谁，有括号的先算括号里面的．[跟踪训练1](1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为()A．{x∈R|0x2}B．{x∈R|0≤x2}C．{x∈R|0x≤2}D．{x∈R|0≤x≤2}答案(1)D(2)C解析(1)根据题意易得3∈A,9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则5∈(∁UB)∩A，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．(2)借助数轴，如图易得∁UA＝{x∈R|0x≤2}．题型二探究补集的一些运算律例2试探究∁U(A∩B)与(∁UA)∪(∁UB)之间的关系．[解]先通过具体例子探究它们之间的关系．不妨令U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,4,7}，B＝{1,3,7,8}．易知A∩B＝{1,7}，∁U(A∩B)＝{2,3,4,5,6,8}．∁UA＝{3,5,6,8}，∁UB＝{2,4,5,6}，(∁UA)∪(∁UB)＝{2,3,4,5,6,8}，显然有∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．下面给出证明：先证∁U(A∩B)⊆(∁UA)∪(∁UB)，设x∈∁U(A∩B)，则x∉(A∩B)．分三种情况：①x∈A，且x∉B；②x∉A，且x∈B；③x∉A，且x∉B.从而可以推出：①x∈∁UB；②x∈∁UA；③x∈∁UA或x∈∁UB.综上可知，x∈(∁UA)∪(∁UB)，∴∁U(A∩B)⊆(∁UA)∪(∁UB)．再证(∁UA)∪(∁UB)⊆∁U(A∩B)，5设x∈(∁UA)∪(∁UB)，则x∈∁UA或x∈∁UB，从而可推出x∉A或x∉B，即x∉(A∩B)，于是x∈∁U(A∩B)，∴(∁UA)∪(∁UB)⊆∁U(A∩B)．根据集合相等的定义，从而有∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．金版点睛对于一些探究性问题，可以先通过具体实例发现结论或寻找探究方向，然后给出证明，这是一种由特殊到一般的推理方法；本例用到证明集合相等的常用方法即A⊆B，且B⊆A⇔A＝B[跟踪训练2]试探究∁U(A∪B)与(∁UA)∩(∁UB)之间的关系．解用维恩图表示∁U(A∪B)和(∁UA)∩(∁UB)有：∴∁U(A∪B)与(∁UA)∩(∁UB)相等．题型三利用集合间的关系求参数例3已知集合A＝{x|2a－2xa}，B＝{x|1x2}，且A∁RB，求a的取值范围．[解]∵∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，A∁RB，∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.②若A≠∅，则有2a－2a，a≤1或2a－2a，2a－2≥2.∴a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.[条件探究]本例中若把“A∁RB”换成“A∩(∁RB)＝∅”，则a的取值范围是什么？解①若A＝∅，则a≥2满足题意．6②若A≠∅，则需满足2a－2a，2a－2≥1，a≤2，解得32≤a2，综上所述a≥32.金版点睛利用补集求参数问题的方法(1)解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．(3)数轴与维恩图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以在进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解．[跟踪训练3]已知集合A＝{x|xa}，B＝{x|1x3}．(1)若A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A∁RB，求实数a的取值范围．解(1)∵B＝{x|1x3}，∴∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，因而要使A∪(∁RB)＝R，结合数轴(如图)分析，可得a≥3.(2)∵A＝{x|xa}，∁RB＝{x|x≤1或x≥3}．要使A∁RB，结合数轴(如图)分析，可得a≤1.题型四补集思想的应用例4已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x0，x∈R}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．[解]∵A∩B≠∅，∴A≠∅.设m取值的全集为U，则U＝{m|Δ＝(－4)2－4(2m＋6)≥0}＝{m|m≤－1}．若A∩B＝∅，则方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则m∈U，x1＋x2＝4≥0，x1x2＝2m＋6≥0⇒－3≤m≤－1，7∵{m|－3≤m≤－1}关于U的补集为{m|m－3}，∴实数m的取值范围为m－3.金版点睛对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时应从问题的反面入手探求已知和未知的关系，这样能化难为易、化隐为显，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接原则的体现.,这种“正难则反”策略运用的就是补集思想，而已知全集U，求子集A，若直接求A有困难，可先求∁U)A，再由∁U(∁U)A＝A，求A即可[跟踪训练4]已知集合A＝{x|x2＋2x＋3m－5＝0}，B＝{x|x0)，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．解∵A∩B≠∅，∴A≠∅，设m取值的全集为U，则U＝{m|Δ＝4－4(3m－5)≥0}＝{m|m≤2}，若方程x2＋2x＋3m－5＝0的两根均为非正，则m∈U，x1＋x2＝－2≤0，x1x2＝3m－5≥0⇒53≤m≤2.∵集合m53≤m≤2在U中的补集为mm53，∴m的取值范围为mm53.1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等于()A．{2,3}B．{1,4,5}C．{4,5}D．{1,5}答案B解析集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5}．故选B.2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|x1}B．{x|x≥1}C．{x|1x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案D解析由补集的概念和已知条件可得，∁RB＝{x|x≥1}，又根据交集的定义可知A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．故选D.83．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于()A．0或2B．0C．1或2D．2答案D解析根据题意，得a2－2a＋3＝3，且a＝2，解得a＝2.故选D.4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝________.答案M解析由N∩(∁IM)＝∅，知N与∁IM没有公共元素，依据题意画出维恩图，如图所示，可得N⊆M，所以M∪N＝M.5．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，求实数m的值．解A＝{－1,2}，B∩(∁UA)＝∅等价于B⊆A.当m＝0时，B＝∅⊆A；当m≠0时，B＝－1m.∴－1m＝－1或－1m＝2，即m＝1或m＝－12.综上，m的值为0,1，－12.