2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正

-1-第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性(教师独具内容)课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．教学重点：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性．教学难点：周期函数、最小正周期的意义.【知识导学】知识点一函数的周期性(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个□01非零常数T，使得当x取定义域内的□02每一个值时，都有□03f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做□04周期函数，□05非零常数T叫做这个函数的周期．(2)□06如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(3)记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是□07周期函数，□082kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为□092π.知识点二正弦函数、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sinx(x∈R)是□01奇函数，图象关于□02原点对称；余弦函数y＝cosx(x∈R)是□09偶函数，图象关于□04y轴对称．【新知拓展】(1)周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．(2)从等式“f(x＋T)＝f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如，f(2x＋T)＝f2x＋T2＝f(2x)，则T2是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期．(3)如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．(4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．(5)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y＝0(x∈R)．-2-1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为sinπ3＋π3＝sinπ3，所以π3是正弦函数y＝sinx的一个周期．()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．()(3)函数y＝3sin2x是奇函数．()(4)函数y＝－cosπ3x是偶函数．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．做一做(1)函数f(x)＝2sinπ2－x是()A．T＝2π的奇函数B．T＝2π的偶函数C．T＝π的奇函数D．T＝π的偶函数(2)函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期为________．(3)若函数y＝sinx在[a，b]上是奇函数，则a＋b＝________.答案(1)B(2)π(3)0-3-题型一正弦函数、余弦函数的周期性例1求下列函数的周期．(1)y＝3sinπ2x＋3；(2)y＝|cosx|；(3)y＝3cosπ6－3x；(4)y＝sin2x－π4.[解](1)解法一：y＝3sinπ2x＋3＋2π＝3sinπ2x＋4＋3＝3sinπ2x＋3，令y＝f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，∴y＝3sinπ2x＋3的周期为4.解法二：ω＝π2，∴T＝2πω＝2ππ2＝4.(2)y＝|cosx|的图象如下图所示．∴周期T＝π.(3)解法一：y＝3cosπ6－3x＝3cos3x－π6.∵3cos3x－π6＋2π＝3cos3x＋2π3－π6＝3cos3x－π6，令y＝f(x)，则fx＋2π3＝f(x)，∴y＝3cosπ6－3x的周期为2π3.解法二：∵|ω|＝3，∴T＝2π|ω|＝2π3.-4-(4)解法一：y＝sin2x－π4＝sin2x－π4＋2π＝sin2x＋π－π4，令y＝f(x)，则f(x＋π)＝f(x)，∴y＝sin2x－π4的周期为π.解法二：∵ω＝2，∴T＝2πω＝2π2＝π.金版点睛求三角函数周期的方法求三角函数的周期，通常有三种方法．方法一：定义法，即利用周期函数的定义求解；方法二：公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝2π|ω|；方法三：观察法(图象法)．注意：求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.[跟踪训练1]求下列函数的最小正周期．(1)y＝sin2x＋π3；(2)f(x)＝2sinx2－π6；(3)f(x)＝cos－2x＋π3；(4)f(x)＝|sinx|.解(1)∵sin2x＋π3＋2π＝sin2x＋π3，∴sin2x＋π＋π3＝sin2x＋π3，∴y＝sin2x＋π3的周期是π.(2)解法一：∵2sinx2－π6＋2π＝2sin12x＋4π－π6＝2sinx2－π6，∴f(x＋4π)＝f(x)，-5-∴f(x)＝2sinx2－π6的周期是4π.解法二：∵ω＝12，∴T＝2π12＝4π.(3)f(x)＝cos－2x＋π3＝cos2x－π3.∵cos2x－π3＋2π＝cos2x＋π－π3＝cos2x－π3，∴f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.(4)f(x)＝|sinx|的图象如图所示．∴周期T＝π.题型二正弦函数、余弦函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝2sin2x；(2)f(x)＝sin3x4＋3π2；(3)f(x)＝sin|x|；(4)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.[解](1)∀x∈R，f(－x)＝2sin(－2x)＝－2sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝2sin2x是奇函数．(2)∀x∈R，f(x)＝sin3x4＋3π2＝－cos3x4，所以f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝sin3x4＋3π2是偶函数．(3)∀x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．(4)由1－cosx≥0，cosx－1≥0，得cosx＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．[条件探究]将本例(1)改为f(x)＝2cos2x，-6-(2)改为f(x)＝cos3x4＋3π2，再判断函数的奇偶性．解(1)∵∀x∈R，f(－x)＝2cos(－2x)＝2cos2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)∵∀x∈R，f(x)＝cos3x4＋3π2＝sin3x4，∴f(－x)＝sin－3x4＝－sin3x4＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．金版点睛判断函数奇偶性应把握好的两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．[跟踪训练2](1)判断函数f(x)＝cos(2π－x)－x3sinx的奇偶性；(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，求φ的一个值．解(1)函数的定义域为R，关于原点对称，又f(x)＝cosx－x3sinx，∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)＝cosx－x3sinx＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)解法一：根据y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数，∴要使f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，只要φ的终边在y轴上即可．把f(x)＝sin(2x＋φ)变为f(x)＝cos2x或f(x)＝－cos2x.∴可取φ＝π2＋kπ(k∈Z)．∴当k＝－1时，φ＝－π2.解法二：∵f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，∴该函数关于直线x＝0对称．又∵f(x)的对称轴满足2x＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，∴当x＝0时满足2x＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)．-7-∴φ＝π2＋kπ(k∈Z)．∴当k＝－1时，φ＝－π2.题型三函数周期性与奇偶性的应用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，求f5π3的值．[解]∵f(x)的最小正周期是π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3.∵f(x)是R上的偶函数，∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.∴f5π3＝32.[条件探究]若本例条件改为：函数f(x)为偶函数且fx＋π2＝－f(x)，fπ3＝1，求f5π3的值．解因为f(x)满足fx＋π2＝－f(x)，所以f(x＋π)＝－fx＋π2＝f(x)．故函数f(x)的周期为π.由函数f(x)是偶函数以及fπ3＝1，可得f5π3＝f－π3＝fπ3＝1.金版点睛化归思想在周期函数中的应用(1)利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．(2)如果一个函数是周期函数，先研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．(3)周期性实质上是由终边相同的角所具有的周期性所决定的．-8-[跟踪训练3]若函数f(x)是以π2为周期的偶函数，且fπ3＝1，求f－17π6的值．解∵函数f(x)是偶函数，∴f－17π6＝f17π6.又函数f(x)的周期是π2，∴f17π6＝fπ2×5＋π3＝fπ3＝1.即f－17π6＝1.1．函数y＝sin12x－φ(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是()A．0B.π4C.π2D．π答案C解析由题意，得sin(－φ)＝±1，即sinφ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝π2.故选C.2．函数y＝sin2x是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的偶函数D．周期为π2的奇函数答案A解析显然函数y＝sin2x是奇函数，其最小正周期为T＝2π2＝π，故选A.3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是()-9-答案B解析∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，排除A，C.又∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，故选B.4．若函数y＝sinωx＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝________.答案±3解析2π|ω|＝2π3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.5．函数f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx的奇偶性为________．答案非奇非偶函数解析由题意，知f(x)的定义域为{|xx≠3π2＋2kπ，k∈Z}，不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数．