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11.5平面直角坐标系中的距离公式[学习目标]1.掌握两点间的距离公式并会应用．2.了解点到直线的距离公式的推导方法．3.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．4.初步掌握用解析法研究几何问题的方法.【主干自填】1．两点间的距离公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B的距离公式|AB|＝□01x1－x22y1－y22.2．点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离记为d，则d＝□02|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．两条平行线间的距离两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A、B不同时为0，C1≠C2)间的距离为□03|C1－C2|A2＋B2.【即时小测】1．思考下列问题(1)当P1，P2的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式是否适用？提示：适用．(2)点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P在直线l上的特殊情况是否还适用？提示：仍然适用．①当A＝0时，B≠0，直线l的方程为By＋C＝0，即y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By0＋C||B|，适合公式；②当B＝0时，A≠0，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝x0＋CA＝|Ax0＋C||A|，适合公式；③当P点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0，d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2＝0，适合公式．2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于()2A．－3B．5C．－3或5D．－1或－3提示：C|AB|＝2＋121－b2＝5，解得b＝5或b＝－3.3．已知点(a,2)(a0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值等于()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1提示：C由点到直线的距离公式得|a－2＋3|1212＝|a＋1|2＝1⇒|a＋1|＝2.因为a0，所以a＋1＝2，即a＝2－1.4．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．提示：3直线6x＋8y＋6＝0可变为3x＋4y＋3＝0，由此可知两直线平行．它们的距离d＝|－12－3|32＋42＝3，|PQ|最小值为d＝3.例1(1)求直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离；(2)已知点A(a，－5)与B(0,10)间的距离是17，求a的值；(3)求直线l：y＝x被两条平行直线x＋y－2＝0和x＋y－4＝0所截得的线段的长度．[解](1)直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1,0)，与y轴的交点为0，－2m，∴两交点之间的距离为d＝1－02＋0＋2m2＝1＋4m2.(2)由两点间的距离公式可得d2＝a2＋152＝172，∴a＝±8.(3)先求两直线的交点，由y＝x，x＋y－2＝0解得交点为(1,1)，由y＝x，x＋y－4＝0解得交点为(2,2)．∴所求线段的长度为d＝2－122－12＝2.3类题通法应用距离公式的注意事项(1)使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．两点间的距离公式是利用代数法研究几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何中的距离问题往往最后都要转化为此公式解决.[变式训练1]已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，(1)试判断△ABC的形状；(2)求AB边上的中线CM的长．解(1)|AB|＝1－524－52＝17，|AC|＝4－521－52＝17，|BC|＝4－121－42＝18，∵|AB|＝|AC|≠|BC|，∴△ABC为等腰三角形．(2)M3，92，|CM|＝4－32＋1－922＝532.例2求点P(1,2)到下列直线的距离：(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．[解](1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0，由点到直线的距离公式得d1＝|1－2－3|1212＝22.(2)解法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d2＝|2＋1|02＋12＝3.解法二：如图，∵y＝－1平行于x轴，∴d2＝|－1－2|＝3.(3)解法一：y轴的方程为x＝0，4由点到直线的距离公式得d3＝|1＋0＋0|12＋02＝1.解法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.类题通法点到直线距离公式的注意点求点到直线的距离，要注意公式的条件，要先将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采用数形结合的思想方法求解．[变式训练2]P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，求P点的坐标．解设点P的坐标为(x0，y0)，由题意得3x0＋y0－5＝0，|x0－y0－1|2＝2，解得x0＝2，y0＝－1或x0＝1，y0＝2.所以点P的坐标为(2，－1)或(1,2).例3已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1d2＝12，求直线l的方程．[解]设P(x，y)为l上任一点．则d1＝|7x＋8y＋9|72＋82，d2＝|7x＋8y－3|72＋82.由d1d2＝12，即d2＝2d1，得|7x＋8y－3|＝2|7x＋8y＋9|，∴7x＋8y－3＝2(7x＋8y＋9)5或7x＋8y－3＝－2(7x＋8y＋9)．化简得l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.类题通法求两条平行直线间距离的两种思想(1)转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)利用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求解，但需注意两直线方程都化为一般式，且x，y的系数对应相等．[变式训练3]已知直线l过点A(2,4)，被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得线段的中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．解解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，∴可设点M坐标为(t,3－t)．由题意知点M到l1，l2的距离相等，即|t3－t1|2＝|t3－t1|2，解得t＝32，∴M32，32.又l过点A(2,4)，由两点式得y－324－32＝x－322－32，即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0.解法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式得|C－1|2＝|C＋1|2，解得C＝0，即l3：x－y＝0.由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上，解方程组x－y＝0，x＋y－3＝0，得x＝32，y＝32.∴M32，32.6又l过点A(2,4)，故由两点式y－324－32＝x－322－32，得直线l的方程为5x－y－6＝0.易错点⊳对斜率是否存在考虑不全面致误[典例]求经过点(1,2)且到原点距离为1的直线方程．[错解]∵所求直线过点A(1,2)，∴可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.∵原点到此直线的距离为1，∴|－k＋2|k2＋1＝1，解得k＝34，∴所求直线方程为y－2＝34(x－1)，即3x－4y＋5＝0.[错因分析]本题出错的根本原因在于思维不严密，当用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．[正解]①当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时，直线方程为x＝1，原点(0,0)到直线的距离等于1，所以满足题意．②当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时，由题意可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，又由原点到此直线距离等于1，所以|－k＋2|k2＋1＝1，解得k＝34，所以直线方程为y－2＝34(x－1)，即3x－4y＋5＝0.综上所述，所求直线方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.课堂小结1.应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2的前提是直线方程为一般式．特别地，当直线方程A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解.72.两条平行线间的距离处理方法有两种：一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的化归转化思想.二是直接套用公式d＝|C1－C2|A2＋B2，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，(C1≠C2)需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同.1．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为()A．10B．5C．8D．6答案A解析设A(a,0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)，所以|AB|＝6－020－82＝36＋64＝10.2．若点(1,2)到直线x－y＋a＝0的距离为22，则实数a的值为()A．－2或2B.12或32C．2或0D．－2或0答案C解析由点到直线的距离公式，得|1－2＋a|1212＝22，即|a－1|＝1，解得a＝2或0.3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为()A．－6或12B．－12或1C．－12或12D．0或12答案A解析|3m＋2＋3|m2＋12＝|－m＋4＋3|m2＋12，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或12.4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是()A．3x－4y＋4＝0B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C．3x－4y＋16＝0D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0答案D8解析在直线3x－4y＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则|3×1－4×1＋m|3242＝3，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.